Grundlagen für eine Theorie der unendlichen Matrizen. (Q5910428)

Die Arbeit enthält in ihrem zweiten Kapitel die ausführliche Darstellung einer gemeinsamen Untersuchung der beiden Verfasser, deren Ergebnisse sie schon in einer Note in den Gött. Nachr. (F. d. M. 37, 191, 1906, JFM 37.0191.02) angezeigt hatten. Den Kern dieser Untersuchung bilden die beiden Konvergenzsätze, welche besagen, daß eine lineare Form von unendlichvielen Veränderlichen \(a_1x_1+a_2x_2+\cdots\), die für jedes Wertsystem von konvergenter Quadratsumme \(x_1^2+x_2^2+\cdots\) konvergiert, beschränkt ist, und daß ebenso eine Bilinearform von unendlichvielen Veränderlichen \(\sum a_{pq} x_p y_q\) beschränkt ist, wenn sie für alle Wertsysteme \(x_p, y_q\) von konvergenten Quadratsummen selbst entweder zeilenweise oder kolonnenweise oder abschnittsweise (im Sinne der Theorie der Doppelreihenkonvergenz) konvergiert. Dieser Untersuchung sind im ersten Kapitel die grundlegenden Definitionen und Sätze von \textit{Hilbert} über ``beschränkte Formen'', die sogenannten Faltungssätze, vorangestellt, die \textit{Hilbert} selbst ohne volle Beweise inmitten schwierigerer Dinge in seiner vierten Mitteilung (F. d. M. 37, 351, 1906, JFM 37.0351.03) publiziert hatte, sowie eine Reihe von Begriffsbildungen und Fragestellungen, auf die sich die Verf. im zweiten Kapitel und in ihren späteren Arbeiten stützen: Kalkül mit beschränkten Matrizen, Äquivalenz von einzelnen Bilinearformen und von Scharen bilinearer Formen, Orthogonaläquivalenz quadratischer Formen von unendlichvielen Variabeln, Definition und Invarianz des Spektrums (abweichend von \textit{Hilbert}). Den Schluß von Kap. I bildet eine Übersicht über die derzeitigen Resultate der Theorie der unendlichvielen Variabeln.