Sur les équations intégrales non linéaires. (Q5910431)

Die \textit{Schmidt}schen Resultate über die nicht lineare Integralgleichung: \[ \varphi (x)-\int^1_0 F(x,y;\;\varphi (y),\lambda )dy=0 \] werden zum Teil durch folgende Methode gewonnen: Verf. setzt \[ \varphi (x)=\varphi_0(x) + \lambda \varphi_i (x) + \cdots + \lambda^n \varphi_n(x)+\cdots , \] wo \(\varphi_0 (x)\) die Lösung der vorgelegten Gleichung für \(\lambda = 0\) bezeichnet. \(F\) wird als Potenzreihe in \(\varphi -\varphi_0\) angenommen, und man findet für \(\varphi_n (x)\) eine lineare Integralgleichung \[ \varphi_n(x)- \int^1_0 K(x,y)\varphi_n(y)dy =\psi_n(x), \] die entweder stets lösbar ist oder, falls bestimmte endlichviele Bedingungen erfüllt sind, deren Diskussion keine Schwierigkeit bietet. Sind alle diese Bedingungen erfüllt, so kann man die Konvergenz der Reihe \(\sum \lambda^n \varphi_n (x)\) für hinreichend kleine \(| \lambda|\) mit Hülfe der Majorantenmethode beweisen.