Sur les équations aux différences finies. (Q5910596)

Die lineare Differenzengleichung \(k\)-ter Ordnung von der Normalform \[ \sum^{i=k}_{i=0} x(x-\omega) \dots (x- (i-1)\omega) p_i (x)\Delta^i_{-\omega} u(x) = 0, \] wo \[ \Delta_\omega u(x)= \frac{u(x+i\omega)-{i\choose 1}u(x+(i-1)\omega)+\cdots+(-1)^iu(x)}{\omega^i}\,, \] \[ p_k(x)=1,\;p_i(x)=a_{i0}+\sum^{s=\infty}_{s=1}\;\frac{s!\omega^2 a_{is}}{(x+\omega)(x+2\omega)\dots (x+s^\omega)}\;(i=0,1,\dots,k-1) \] summierbar von der Ordnung \(r\) für \({\mathfrak R}(\frac x\omega) >\lambda_r\) ist, besitzt \(k\) Fundamentallösungen von der Gestalt \[ u(x)=\sum^{i=\lambda}_{i=0}\sum^{\nu=\infty}_{\nu=0} g^{(i)}_\nu\;\frac{\partial^i}{\partial\varrho^i}\;\frac{\varGamma\left(\frac x\omega+1\right)}{\varGamma\left(\frac x\omega +\varrho+\nu+1\right)\omega^{\varrho+\nu}}\,, \] wo \(\varrho\) eine Wurzel der Gleichung \(k\)-ten Grades \[ \varrho(\varrho+1)\cdots (\varrho+k-1)+\cdots +\varrho(\varrho+1)\cdots(\varrho+i-1)a_{i0}+\cdots+a_{00}=0 \] ist. Die Reihen für \(u(x)\) sind summierbar von der Ordnung \(r+i-{\mathfrak R}(\varrho)\), wenn \({\mathfrak R}\left(\frac x\omega\right)>\lambda-k\) ist, worin \(\lambda\) die größte der Zahlen \(\lambda_r\), 0 und \({\mathfrak R}(-\varrho)\) bedeutet. Im Unendlichen verhalten sich diese Lösungen wie \[ \sum^{i=k}_{i=0} x^{-\varrho_i}(c_1 +c_2 \log x+\cdots +c_p\log^p x), \] wo die \(c_i\) Konstanten sind.