On an integral equation. (Q5910599)

Die vorliegende Arbeit ist der Untersuchung der Funktionalrelation \[ f(x)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin m(t-x)}{t-x}\;f(t)dt \] gewidmet, wobei \(x\) eine reelle Veränderliche und \(n\) eine positive Zahl bedeutet. Eine Funktion f(x), die der obigen Relation genügte nennt Verfasser eine \(m\)-Funktion. Er zeigt, daß, eine Funktion eine \(m\)-Funktion ist für \(m=m_0\), sie auch eine \(m\)-Funktion für \(m\geqq m_0\) ist. Er gibt ferner ausgedehnte Klassen von Funktionen an, die \(m\)-Funktionen sind; in diesem Sinne beweist er, daß die Funktion \[ f(x)=\int_a^A \frac{\sin \mu(w-x)}{x-x}\;\varphi(w)dw \] für jedes \(m\geqq \mu\) eine \(m\)-Funktion darstellt, sofern \(\varphi(w)\) eine mit Ausnahme endlichvieler Stellen überall stetige Funktion bedeutet und das Integral \[ \int| \varphi(w)| dw \] über jedes endliche Intervall existiert. Er gibt ferner an, welche Bedingung noch hinzukommt, wenn \(a=-\infty\) oder \(A=+\infty\) wird. Eine andere Klasse von \(m\)-Funktionen erzeugt der Verf. durch komplexe Integration. Er zeigt ferner, daß der Kern \[ \frac{1}{\pi}\frac{\sin m(t-x)}{t-x} \] nur einen einzigen Eigenwert besitzt, nämlich \(\lambda=1\) und untersucht schließlich den Gültigkeitsbereich der folgenden Inversionsformeln: \[ \begin{aligned} F(\lambda)&=\int_{-\infty}^\infty e^{-m\lambda ti}f(t)dt,\\ f(x)&=\frac{m}{2\pi}\int_{-1}^1 e^{mx\lambda i}F(\lambda)d\lambda;\end{aligned} \] er findet eine ausgedehnte Klasse von Funktionen, für die diese Relationen richtig sind.