Le superficie a curve sezioni di genere 3. (Q5910652)

Die Bestimmung und die Untersuchung der Flächen eines beliebigen linearen Raumes, deren ebene Schnitte Kurven vom Geschlecht 3 sind, wurden von \textit{G. Castelnuovo} vor zwanzig Jahren begonnen (F. d. M. 22 1890, 790 bis 792, JFM 22.0790.01). Neuere Resultate der allgemeinen Theorie der Flächen gestatten es, jene wichtige Aufgabe zu einem endgültigen Abschluß zu bringen; sie führten nämlich den Verf. der vorliegenden Abhandlung zu dem Schlusse, daß es außer den \textit{Castelnuovo}schen Flächen (die er ``erster Art'' nennt) noch mehrere andere und nicht minder wichtige gibt, welche er als zu einer ``zweiten Art'' gehörig betrachtet. Alle diese sind höchstens achter Ordnung, gehören höchstens einem fünfdimensionalen Raume an und enthalten einen elliptischen Kegelschnittbüschel. Einige der \textit{Scorza}schen Flächen zweiter Art, die im gewöhnlichen Raume liegen, enthalten unendlich viele koplanare Kegelschnittpaare, deren Ebenen einen Büschel bilden; man kann sie auf zwei Typen verteilen. Für die Flächen des ersten Typus besteht die Doppellinie aus den Kanten eines Tetraeders und aus einer Geraden, welche zwei seiner Gegenkanten schneidet; für die des zweiten dagegen besteht die Doppellinie aus den sechs Schnittgeraden von vier durch denselben Punkt gehenden Ebenen und aus einer Geraden, welche zwei entgegengesetzte dieser Geraden schneidet. Die Flächen des ersten Typus haben vier Doppelpunkte; die des zweiten sind dagegen mit einem vierfachen Punkte behaftet. Die übrigen der in Rede stehenden Flächen verteilen sich auch auf zwei Kategorien. Die der ersten haben ihre Kegelschnitte in den Ebenen einer abwickelbaren elliptischen Fläche vierter Klasse; die Ebenen der Kegelschnitte der einen Fläche der zweiten hüllen dagegen einen elliptischen Kegel dritter Klasse ein. Die Doppellinie einer Fläche der ersten Kategorie besteht entweder aus einer Raumkurve dritter Ordnung und den Seiten eines einfachen ihr eingeschriebenen Vierseits oder aus einer rationalen ebenen Kurve dritter Ordnung und den vier Schnittgeraden zweier Ebenenpaare, welche zu je zweien durch ihre Doppelpunkttangenten gehen. Die Doppellinie einer Fläche der zweiten Kategorie kann nur wie folgt zusammengesetzt sein: a) Fünf Kanten \(AB, AC, AD, BC, BD\) eines Tetraeders \(ABCD\) und ein die Gegenkanten \(AB, CD\) schneidender Kegelschnitt. b) Ein Kegelschnitt \(C^2\), eine Sehne \(AB=g\) desselben und die vier Schnittgeraden zweier Ebenenpaare, die resp. durch \(g\) und durch die Tangente von \(C^2\) in \(A\) (oder \(B\)) gehen. c) Drei Gerade \(a,b,c\), welche durch einen Punkt \(O\) gehen und in einer Ebene \(\omega\) liegen, ein Kegelschnitt, welcher die Ebene \(\omega\) im Punkt \(O\) berührt, endlich zwei Gerade, die zu zweien den Geraden \(a, b, c\) unendlich nahe liegen. Von allen diesen Flächen werden die Gleichungen aufgestellt und einige Haupteigenschaften bewiesen. Andere wichtige bezügliche Fragen werden für eine künftige Arbeit verschoben, die die Fortsetzung der vorliegenden sein wird; wir können nur nur den Wunsch aussprechen, daß sie nicht minder wichtig und inhaltsreich als die gegenwärtige sei.