Remarks on potential theory (Q5910673)

Für den Nachweis der Diskontinuitäten des Potentials einer Doppelbelegung sowie der der ersten Ableitungen des Flächen- und der zweiten des Körperpotentials wird hier eine einfache Methode dargelegt, die in einer geringfügigen Modifikation eines zuerst von \textit{Bruns} (s. F. d. M. 3, 497, 1871, JFM 03.0497.01; 8, 622, 1876, JFM 08.0622.03) verwandten Kunstgriffs besteht. Es handelt sich zunächst darum, in der Umgebung eines Punktes \(O\), der auf der Fläche \(\sigma\), aber nicht an deren Rande liegt, die Existenz einer gewissen Hülfsfunktion \(\varphi\) nachzuweisen. Zu dem Zwecke werden für die Raumpunkte in der Nähe von \(O\) statt \(x, y, z\) die Koordinaten \(n, p, q\) eingeführt, wo \(n\) den Normalabstand des betreffenden Punktes von der Fläche, \(p\) und \(q\) Flächenkoordinaten bezeichnen. Dann geht die \textit{Laplace}sche Gleichung \(\Delta \varphi =0\) über in: \[ (7)\quad \frac{\partial^2\varphi}{\partial n^2}=-\frac1N\;D_2(\varphi), \] und darin bedeutet \(D_2(\varphi)\) einen linearen Differentialausdruck zweiter Ordnung nach \(n, p, q\) mit regulären analytischen Koeffizienten, in dem \(\frac{\partial^2\varphi}{\partial n^2}\) nicht vorkommt, \(N\) einen Koeffizienten, der sicher \(>1\) ist. Nach dem Existenztheorem für partielle Differentialgleichungen läßt sich dann in einer gewissen Umgebung von \(O\) eine reguläre analytische Funktion \(\varphi\) bestimmen, die der Gleichung (7) genügt und für \(n=0\), d. h. auf der Fläche \(\sigma\), die Bedingungen erfüllt: \[ (8)\quad \varphi=f,\qquad (9)\quad \frac{\partial\varphi}{\partial n}=0. \] Weiter kehre man zu den Koordinaten \(x, y, z\) zurück und denke um \(O\) eine kleine Kugel beschrieben, die aus \(\sigma\) das reguläre Flächenstück \(\sigma'\) ausschneide. Durch \(\sigma'\) wird die Kugel in die Raumteile \(G_1\) und \(G_2\), ihre Oberfläche in die Teile \(k_1\) und \(k_2\) zerlegt. Durch Anwendung des \textit{Green}schen Satzes auf den Raum \(G_1\) ergibt sich dann die Gleichung: \[ (10)\quad 4\pi\varphi(x,y,z)=\int_{\sigma'}f\;\frac{\partial\,\frac1r}{\partial n}\;ds+\int_{k_1}\varphi\;\frac{\partial\,\frac1r}{\partial n}\;ds-\int_{k_1}\;\frac{\partial \varphi}{\partial n}\;\frac1r\;ds, \] während für Punkte außerhalb \(G_1\) die linke Seite von (10) durch Null zu ersetzen ist. Ist nun \[ W(x,y,z)=\int_\sigma\, f\;\frac{\partial\,\frac1r}{\partial n}\;ds \] das Potential einer Doppelbelegung von \(\sigma\), so teile man das Integrationsgebiet \(\sigma\) in ein über \(\sigma'\) und ein über \(\sigma-\sigma'\) erstrecktes Integral und berechne das über \(\sigma'\) zu erstreckende Integral für Punkte im Innern von \(G_1\) mittels der Gleichung (10), für Punkte außerhalb \(G_1\) mittels der entsprechenden Gleichung, in der nur Null an Stelle von \(\varphi\) steht. Dann ergibt sich sofort aus den Eigenschaften der Hülfsfunktion \(\varphi\) die diskontinuierliche Änderung von \(W\), die kontinuierliche von \(\frac{\partial W}{\partial n}\), wenn der Aufpunkt an \(\sigma'\) durch die Fläche \(\sigma\) geht. Zugleich wird, wie ebenfalls aus dem \textit{Green}schen Satze folgt, der Wert von \(W\) auf der Belegungsfläche gleich dem arithmetischen Mittel der Grenzwerte beim Heranrücken an dieselbe. Um die Kontinuität des Potentials einer einfach belegten Fläche und die Diskontinuität ihrer normalen Ableitungen nachzuweisen, muß man der Hülfsfunktion \(\varphi\), die der Gleichung (7) genügt, nur die Bedingungen \[ (16)\quad \varphi=0,\qquad (17)\quad \frac{\partial g}{\partial n}=g\text{ für }n=0 \] auferlegen. Durch analoge Betrachtungen werden schließlich auch die charakteristischen Eigenschaften des Körperpotentials hergeleitet.