Zur Theorie der trinomischen Gleichungen. (Q5910726)

Ein in der Theorie der säkularen Störungen vorkommendes Problem hat den Verf. auf eine Regel geführt, um die Anzahl derjenigen Wurzeln einer trinomischen Gleichung zu bestimmen, deren absoluter Wert kleiner als eine willkürlich gegebene positive Größe \(p\) ist. Die Koeffizienten der trinomischen Gleichung \(ax^n + bx^m + c = 0\), in welcher \(n > m > 0\) und \(\tau\) den größten gemeinsamen Teiler von \(n,m\) bedeutet, seien irgendwelche von Null verschiedene reelle oder komplexe Zahlen mit den Argumenten \(\alpha\), bezügl. \(\beta\), bezügl. \(\gamma\). Dann besagt die in der Arbeit abgeleitete Regel, daß die gewünschte Wurzel-Anzahl gleich dem \(\tau\)-fachen einer Zahl \(\zeta\) ist, die in folgender Weise bestimmt wird: I. Ist jede der drei Größen \(| a | \cdot p^n\), \(| b | \cdot p^m\), \(| c |\) kleiner als die Summe der beiden andern, so bilden wir ein Derieck, dessen Seiten den genannten Größen proportional sind. \(w_1\) und \(w_2\) mögen die beiden Winkel ausdrücken, die den \(| a | \cdot p^n\) und \(| b | p^m\) entsprechenden Seiten gegenüberliegen. \(\zeta\) gibt nun die Anzahl derjenigen ganzen Zahlen an, welche zwischen \[ \frac {n(\beta - \gamma + \pi) - m(\alpha - \gamma + \pi)} {2 \pi \tau} - \frac {nw_1 + mw_2} {2 \pi \tau} \] und \[ \frac {n(\beta - \gamma + \pi) - m(\alpha - \gamma + \pi)} {2 \pi \tau} + \frac {nw_1 + mw_2} {2 \pi \tau} \] liegen. II. Eine der drei Größen \(| a | \cdot p^n\), \(| b | \cdot p^m\), \(| c |\) sei gleich der Summe der beiden andern oder größer als diese Summe. Wird in diesem Falle von zwei Ausnahmen (derentwegen wir auf die Arbeit selbst verweisen) abgesehen, so gilt \[ \begin{aligned} & \zeta = 0\;{\text{für}}\;| c | \geqq | a | \cdot p^n + | b | p^m,\\ & \zeta = \frac m \tau\;{\text{für}}\;| b | \cdot p^m \geqq | a | \cdot p^n + | c |,\\ & \zeta = \frac n \tau \;{\text{für}}\;| a | \cdot p^n \geqq | b | \cdot p^m + | c |.\end{aligned} \]