Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form. (Q5910730)

Mit dem Formensystem der ternären biquadratischen Form \(f\) haben sich bereits \textit{Gordan}, \textit{Maisano} und \textit{Pascal} beschäftigt. \textit{Gordan} (F. d. M. 12, 96, 1880, JFM 12.0096.02) stellt das volle, aus 54 Bildungen bestehende Formensystem der speziellen automorphen Form \(f = x_1^3x_2 + x_2^3x_3 + x_3^3x_1\) auf. \textit{Maisano} (F. d. M. 13, 110, 1881, JFM 13.0110.01) gibt für die allgemeine Form \(f\) die Formen bis zur fünften Ordnung einschließlich (nebst einigen Formen höherer Ordnung). Hierauf fußend, untersucht \textit{Pascal} (F. d. M. 18, 100, 1886, JFM 18.0100.02) die Bedingungen für das Zerfallen von \(f\) in Faktoren. Die Verfasserin stellt als Hauptgrundlage für die Ermittlung des vollen Systems von \(f\) ein sogenanntes ``relativ vollständiges'' System auf. Im Anschlusse an \textit{Gordan} werden mit Hülfe eines Satzes über den Zusammenhang der Faltungen und durch Einführung der ``Formenreihe'' die Reduktionssätze formuliert und vervollständigt; die rekurrierende Aufstellung spezieller Reihenentwicklungen liefert das rechnerische Mittel zur wirklichen Durchführung der Reduktionen. Man bilde vermöge der aus dem Binären nach \textit{Gordan} ``übernommenen'' Formen ein erstes relativ vollständiges System. Nach bestimmter Regel gelangt man dann zu Systemen mit stets höherem Modul, bis das System eines Moduls endlich und bekannt wird, oder auch bis ein Modul reduzierbar ist auf Formen, die Invarianten zum Faktor haben. Durch Überschiebung des relativ vollständigen Systems über das System des Moduls entsteht im ersteren Falle das absolut vollständige System, während im zweiten Fall relativ vollständiges und absolut vollständiges System identisch werden, ein Verfahren, das nach \textit{Hilbert} zu einem Abschluß\ führen muß. Der Modul des ersten relativ vollständigen Systems ist \((a b c)\); er wird zurückgeführt auf die Moduln \(\varDelta = (a b c)^2 a_x^2 b_x^2 c_x^2\) und \(\nu = (a b u)^4\), woraus sich das vollständige System mod.\,\(\mu\) ergibt. Nunmehr wird als Reihe der Moduln gewählt: \(\nu\), \(\nu(\nu) = (\nu \nu_1 x)^4 = s_x^4\), \(\nu(s) = (s s' u)^4\), u. s. w. Das System mod.\,\(s\) wird durch Adjunktion zweier Formen \(u_\varrho^2, t_x^2\) des Systems zum System mod.\,\((s, \varrho, t)\) erweitert, und da der Modul \((s s' u)^4\) auf die Moduln \(\varrho\) und \(t\) reduzibel ist, so geht das nächsthöhere System über in ein solches mod.\,\((\varrho, t)\). Aber das System zweier quadratischen Formen ist endlich und bekannt. Zur Bildung des absolut vollständigen Systems wäre nun noch die Überschiebung des Systems mod.\,\((\varrho, t)\) über das System von \((\varrho, t)\) erforderlich: diese bleibt vorbehalten. Wir gehen noch auf einige Einzelheiten ein. Im ersten Kapitel werden allgemeine Hülfssätze über ternäre Formen zusammengestellt. Als Haupterzeugungsprozeß\ dient die ``Faltung''. Ersetzt man in \(s_x^m t_x^n u_\sigma^\mu u_\tau^\nu\) die Faktorenpaare \(s_x t_x, u_\sigma u_\tau\), \(s_x u_\sigma\) oder \(s_x u_\tau\), \(t_x u_\tau\) oder \(t_x u_\sigma\) der Reihe nach durch \((s t u)\), \((\sigma \tau x)\), \(s_\sigma\) oder \(s_\tau t_\tau\) oder \(t_\tau\), so entstehen die mit I, II, III, IV bezeichneten Faltungen. Der Ausdruck \(s_x^m t_x^n u_\sigma^\mu u_\tau^\nu\) läßt sich entweder als wirkliches Produkt \(S \cdot T\) auffassen, oder auch als einzige Form von der Struktur \(\varLambda_x^{m + n} u_\lambda^{\mu + \nu}\): je nachdem wird von der ``Faltung von \(S\) mit \(T\)'' oder von der ``Faltung von \(\varLambda\) in sich'' gesprochen. Übrigens ist im Folgenden für beliebige Exponenten \(\lambda, \chi\) stets \(s_\sigma^\lambda = 0, {t_x}^k = 0\), d. h. die vorgelegte Form ist. eine ``Normalform'', verschwindet also bei Anwendung des \(\Omega\)-Prozesses sowohl nach den \(x, u\) wie nach den \(y, v\). Es gilt vor allem der Satz, daß man sich auf die Faltungen I II beschränken darf, da sich aus ihnen, unabhängig von der Folge der Zusammensetzung, die beiden andern Faltungen III IV zusammensetzen lassen. Unter ``Formenreihe'' ist zu verstehen eine Anfangsform nebst allen aus ihr durch Faltung in sich hervorgehenden Formen. Sodann werden Reihenentwicklungen nach Polaren der Formenreihe aufgestellt. Für Formen \({s_x}^m {u_\tau}^\nu\) existiert eine nach Potenzen von \(u_x\) fortschreitende Reihe, deren Koeffizienten Normalformen sind; für Formen \(s_x^m t_x^{n - \lambda} t_y^\lambda\) eine solche nach Polaren der ``Elementarkovarianten'' -- Polaren der Formenreihe \(s_x^m t_x^n\) --. Beide Entwicklungen werden hier in geeigneter Weise kombiniert und so auf zusammengesetzte Polaren übertragen. Sodann handelt es sich um die ``Reduktion'' von Formen und Formensystemen. Eine Form heißt reduzibel, wenn sie sich ausdrücken läßt durch Formen, die Invarianten zum Faktor haben, oder durch ``höhere Formen'', d. h. durch höhere Formen der Gesamtformenreihe der die Form angehört, oder durch solche, die die Symbole des Moduls in höherer Ordnung enthalten. Ein ``Reduzent'' ist eine reduzible Formenreihe. Es wird ein einfaches Kriterium dafür aufgestellt, daß eine Gesamtformenreihe reduzibel ist. ``Zerfallende'' Formen sind solche, die sich ausdrücken lassen durch Produkte von Formen niedrigeren Grades und durch höhere Formen; es werden die Regeln der Faltung mit zerfallenden Formen erörtert. Nunmehr werden in Kapitel II relativ vollständige Grundsysteme der biquadratischen Urform \(f\) untersucht: übrigens lassen sich die Ergebnisse auf Formen höheren Grades übertragen, wie sie auch für die kubische Form gelten. Ein erstes relativ vollständiges System mod. \((a b c)\) wird erhalten durch die aus dem binären Gebiet ``übernommenen'' Formen, d. h. diejenigen, die aus den Systemformen der entsprechenden binären Urform nach dem \textit{Clebsch}schen Übertragungsprinzip durch Ränderung entstehen. Sodann wird der Modul \((a b c)\) auf die erwähnten Moduln \(\varDelta\) und \(\nu\) zurückgeführt, womit die Formenreihe \((a b c)\) eindeutig normiert wird. Weiter erfolgt mittels der so gefundenen Reduktionsformeln die Zurückführung des Moduls \((\varDelta, \nu)\) auf den Modul \((\nu)\); um dann direkt das relativ vollständige System mod.\,\(\nu\) aufzustellen, hat man nur dem System der übernommenen Formen die Formen \(\varDelta\) und \(N = (a \varDelta u)\) hinzuzufügen (und analog für eine Urform beliebiger Ordnung). Nunmehr wird in Kapitel III das relativ vollständige System mod. \((s, \varrho, t)\) entwickelt, als Mittel, um von dem relativ vollständigen System mod. \(\nu\) zu demjenigen mit nächsthöherem Modul überzugehen. Von dem neuen System werden der Reihe nach die Formen verschiedener Ordnungen bis zur zehnten aufgestellt. Das so gewonnene (dritte) System weist 117 irreduzible Formen auf. Als viertes System tritt das reduzierte mod.\,\((\varrho, t)\) auf, indem das System von \(s\) in Bezug auf den nächsten Modul \(\nu(s) = (s s' u)^4\) gebildet und mit den Formen des relativ vollständigen Systems mod.\,\(s\) gefaltet wird. Bei Einführung des Moduls \((\varrho, t)\) als höheren Moduls wird der Modul \((s s' u)^4\) reduzibel, und das System von \(s\) besteht aus \(s\) selbst. Es ergibt sich, daß das relativ vollständige System mod.\,\((\varrho, t)\) aus 331 Formen und Teilsystemen besteht, die tabellarisch geordnet werden, womit der geplante vorläufige Abschluß\ erreicht ist. Eine kritische Bemerkung sei dem Referenten gestattet. So bewundernswert die aus der \textit{Gordan}schen Theorie sich entwickelnden zur sukzessiven Reduktion der Formen und Formensysteme dienenden Begriffe und Methoden an sich sind, ebenso wie die unermüdliche Geduld bei der Durchführung der oft recht verwickelten (symbolischen) Rechnungen, so muß\ man doch fragen, ob die Ergebnisse einen solchen Aufwand von Arbeit und äußerem Umfange lohnen. Selbst angenommen, es würde weiter gelingen, das wirklich vollständige System der biquadratischen ternären Urform aufzustellen, das dann vielleicht etwa 1000 Individuen umfassen mag, wird damit ein wesentlicher Fortschritt der Wissenschaft herbeigeführt?