A course of pure mathematics. (Q5910756)

Dieser Lehrgang der reinen Mathematik, der für das erste Studienjahr auf der Universität bestimmt ist, hat nicht den in England üblichen Namen Calculus erhalten, obschon er die Differential- und die Integralrechnung umfaßt. Wer die scharfsinnigen Veröffentlichungen des Verf. kennt, muß\ von ihm auch etwas anderes erwarten als ein Buch, das nach dem Muster anderer Lehrbücher darauf abzielt, den Mechanismus der neuen Rechnungen dem Leser plausibel zu machen und durch schematisch gebildete Aufgaben einzuüben. In der Vorrede lehnt Hardy es ab, einen derartigen Lehrgang für Physiker und Techniker zu geben. Er schreibt nur für Mathematiker, deren Lebensberuf das Studium der mathematischen Begriffe ist; hierin will er möglichste Klarheit schaffen, und dadurch unterscheidet sich sein Werk wesentlich von den sonstigen englischen Lehrbüchern, während es andererseits durch Verzichtleistung auf solche Untersuchungen, die für den Anfänger zu schwierig sind, den elementaren Charakter wahrt. Die Absichten des Verf. mögen aus folgender Stelle der Vorrede ersehen werden: ``Man wird finden, daß gewisse Klassen von Theoremen und Beispielen, die in vielen englischen Büchern an erster Stelle sich breit machen, hier durch ihre Abwesenheit glänzen. Ich kann besonders auf die stehenden Sätze bezüglich des Ausdrucks trigonometrischer Funktionen als unendliche Produkte oder Reihen aus Partialbrüchen hinweisen und auf den wohlbekannten Typus von Beispielen, bei dem die Hauptsache im Herausklauben der Koeffizienten aus irgend einer Kombination unendlicher Reihen besteht. Die Beweise dieser Ergebnisse beruhen auf allgemeinen Sätzen, die ihrem inneren Wesen nach mir zu schwierig vorkamen, um einem Buche einverleibt zu werden, das zugleich streng und elementar sein will. Überhaupt bin ich der Meinung, daß, wenn ein Satz einem geeigneten strengen Beweise nur schwierig zugänglich ist, seine Aufstellung und Verwendung besser zu verschieben ist. Ich weiß\ sehr wohl, daß man viel zugunsten des Gegenteils aussagen kann. Einen sehr begreiflichen Grund kann man darin sehen, daß der Student in der Anwendung der Resultate, deren Beweis für sein volles Verständnis zu schwierig ist, eine gewohnheitsmäßige Übung erlangt. Ich habe jedoch gefunden, daß ich selbst nach jenen Richtlinien ein Buch nicht schreiben kann. Immerhin gibt es eine Menge von Sätzen, die nicht zu schwierig zu beweisen sind, und sollte jemand glauben, daß sich zu analytischer Ausbildung eine genügende Mannigfaltigkeit auf sie nicht gründen lasse, so werden hoffentlich meine vermischten Beispiele ihn eines besseren belehren''. Von den zehn Kapiteln des Buches erörtert das erste den Begriff der reellen Variabeln, und es werden dabei die verschiedenen Klassen von Zahlen, die das arithmetische Kontinuum umschließt, eingehend besprochen. Im zweiten Kapitel werden die Funktionen reeller Variabeln und ihre graphische Veranschaulichung behandelt. Die komplexen Zahlen und ihre geometrische Darstellung (als ``Argands Diagramm'' bezeichnet) nebst dem \textit{Moivre}schen Theorem usw. bilden den Gegenstand des dritten Kapitels. In der Darstellung des Grenzbegriffes (Kap. IV) sieht der Verf. die eigenartigste Leistung des Buches. Aus seinen Erfahrungen als Examinator leitet er Vorwürfe gegen die Lehrbücher und die Lehrer bei der Erörterung dieses Begriffes ab. Der Lehrer muß\ seine Schüler in ``Unendlichkeit'' und ``Stetigkeit'' durch eine Überfülle an schriftlichen Arbeiten und Beispielen drillen, wie er sie jetzt in Polen und Polaren oder symmetrischen Funktionen oder den Folgerungen aus dem \textit{Moivre}schen Satze drillt. Die folgenden vier Kapitel: V. Grenzen von Funktionen einer stetigen Variable, stetige und unstetige Funktionen, VI. Differentialquotienten und Integrale, VII. Weitere Sätze in der Differential- und Integralrechnung, VIII. Konvergenz unendlicher Reihen und unendlicher Integrale, behandeln den üblichen Stoff, aber in eigenartiger Weise: Immer wird der Begriff an die Spitze gestellt und vertieft; weniger Rücksicht wird auf die Technik des Rechnens genommen. Die beiden letzten Kapitel sind funktionentheoretisch; sie behandeln die Theorie des Logarithmus und der Exponentialfunktion, indem als Definition des Logarithmus das Integral \(\int_1^x dt/t\) zugrunde gelegt wird. Jedem Kapitel sind zahlreiche Übungsaufgaben angehängt. Ein erster Nachtrag gibt den Beweis des Fundamentaltheorems der Theorie der algebraischen Gleichungen nebst 11 zugehörigen Übungsaufgaben. Der zweite Nachtrag behandelt Probleme über Doppelgrenzen. Das ganze Werk wird viel Anregung nach mannigfachen Richtungen geben.