Sulla continuità di un integrale rispetto ad un parametro. (Q5910758)

\(\varphi (x)\) sei für \(x\geqq c\) eine beschränkte monotone Funktion. Sie strebe bei unendlich zunehmendem \(x\) dem Grenzwert Null zu. Ferner möge für jeden genügend kleinen Wert von \(|h|,\) stets die Ungleichung \[ | K(x, y + h) - K(x, y) | < \omega \] gelten, wo \(\omega\) eine vorgelegte positive Zahl ist. Endlich sei für jedes Paar von Werten \(p, q,\) die nicht kleiner als \(c\) sind, \[ \int_p^q K(x, y) dx \] zwischen konstanten endlichen Grenzen enthalten. Dann ist \[ F(y) = \int_c^\infty \varphi (x) K(x, y) dx \] eine stetige Funktion von \(y.\) Zum Schluß\ macht der Verf. eine Anwendung auf die unendlichen Reihen und findet dabei folgenden Satz: \(a_1, a_2, a_3, \dots\) sei eine monotone Folge mit dem Grenzwert Null und \(u_1 (y), u_2 (y), u_3(y), \dots\) eine Funktionenfolge von solcher Beschaffenheit, daß \(s_n (y) = v_1 (y) + \cdots +v_n (y) \) bei wachsendem \(n\) zwischen zwei von \(y\) unabhängigen endlichen Grenzen bleibt. Dann stellt \[ a_1 u_1 (y) + a_2 u_2 (y) + a_3 u_3 (y) +\cdots \] eine stetige Funktion von \(y\) dar.