Sull' equazione del calore. (Q5910782)

In dem Bestreben, die Theorie der parabolischen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die hinter der Theorie der elliptischen und hyperbolischen Gleichungen hinsichtlich der Funktionen reeller Variabeln weit zurückgeblieben ist, methodisch zu fördern, beschäftigt sich Verf. hier zunächst ausführlich mit dem einfachsten Typus dieser Art, mit der Gleichung der Wärmeleitung \[ (\text I) \qquad \frac {\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac {\partial u}{\partial y} = f(x,y). \] Der Hauptzweck der Arbeit ist der Nachweis des folgenden Existenztheorems: Wenn auf einer offenen Kurve \(s\) eine beliebige stetige Wertenfolge gegeben ist, so existiert immer eine Lösung von (I), die auf der Kurve die bestimmten Werte annimmt. Verf. erinnert zuerst an den Beweis, daß nur eine einzige solche Lösung vorhanden sein kann, und leitet dann einen die Maxima und Minima der Lösungen der Gleichung \[ (\text{II}) \qquad \frac {\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac {\partial u}{\partial y} = 0 \] betreffenden Satz her. Sodann werden die Bedingungen, die der Kurve aufzuerlegen sind, präzisiert, und darauf wird der Beweis Existenztheorems für die Gleichung (II) nach zwei verschiedenen Methoden in Angriff genommen. Danach wird eine der \textit{Poisson}schen Gleichung analoge Formel abgeleitet, die es gestattet, das (I) entsprechende Problem auf das von (II) zurückzuführen. Es folgt dann der Beweis, daß die Lösungen von (I) analytische Funktionen von \(x\) sind, sobald dasselbe für \(f (x, y)\) vorausgesetzt wird. Endlich werden alle Resultate auf die allgemeinere Gleichung \[ \varDelta_2 u - \frac {\partial u}{\partial y} = f(x_1, x_2, \dots, x_n, y) \quad \left( \varDelta_2 u = \sum_1^n {}_i\;\frac {\partial^2 u}{\partial x^2_i} \right) \] ausgedehnt.