Sur une nouvelle classe de surfaces. (Q5910836)

Es handelt sich um die Untersuchung der Flächen, deren Totalkrümmung in jedem Punkte proportional ist der vierten Potenz der Entfernung der Tangentialebene in diesem Punkte von einem festen Punkte (\(S\)-Flächen). Man vergleiche hierzu die Note desselben Verf. in den C. R. {144}, 1257 (F. d. M. 38, 642, 1907, JFM 38.0642.01). Die wesentlichsten Ergebnisse sind in der zweiten Arbeit enthalten. Sind \(x_1, 1, z_1\) drei Integrale der partiellen Differentialgleichung \(\frac {\partial^2 \theta}{\partial u\partial v} = k\theta,\) so wird jede Fläche der in Rede stehenden Klasse \((S)\) durch die Formeln \[ \frac {\partial x}{\partial u} = y_1\;\frac {\partial z_1}{\partial u} - z_1\;\frac {\partial y_1}{\partial u}\,, \quad - \frac {\partial x}{\partial v} = y_1\;\frac {\partial z_1}{\partial v} - z_1\;\frac {\partial y_1}{\partial v} \] und die entsprechenden für \(y\) und \(z\) mit der Bedingung \(xx_1+ yy_1 + zz_1 = 1\) definiert; \(u, v\) sind Parameter der Asymptotenlinien der Fläche. Jede Fläche, die zu einer \(S\)-Fläche in bezug auf eine Kugel oder allgemeiner eine Mittelpunktsfläche zweiten Grades, deren Zentrum der feste Punkt ist, reziprok polar ist, gehört auch zu den \(S\)-Flächen. Jede lineare homogene Transformation der Koordinaten einer \(S\)-Fläche liefert wieder eine \(S\)-Fläche. Zu ihnen gehören außer Ebene und Kugel die geradlinigen Flächen, ferner z. B. die Fläche \(xyz = 1\), die Rotationsfläche \(z(x^2+y^2) = 1.\) Die Bestimmung der nicht geradlinigen \(S\)-Flächen wird von der Lösung der partiellen Differentialgleichung \[ \frac {\partial^2 \log h}{\partial \alpha \partial \beta} = h - \frac 1{h^2} \] abhängig gemacht. (Siehe JFM 39.0685.04)