Sur les problèmes d'élasticité à deux dimensions. (Q5910864)

Die Normalbeanspruchungen \(N_1\) und \(N_2\) sowie die Tangentialbeanspruchung \(T\) befriedigen nach \textit{M. Lévy} (C. R. 126, 1235-1240; F. d. M. 29, 687, 1898, JFM 29.0687.02) für das elastische Gleichgewicht bei zweidimensionalen Problemen die Gleichungen \[ (1) \quad \frac{\partial N_1}{\partial x}+\frac{\partial T}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial N_2}{\partial y}+\frac{\partial T}{\partial x}=0, \quad \varDelta_2(N_1+N_2)=0, \] die man auch so schreiben kann: \[ (2) \quad \left\{ \begin{matrix} \frac{\partial(2T)}{\partial y}+ \frac{\partial(N_1-N_2)}{\partial x}= -\frac{\partial(N_1+N_2)}{\partial x}, \\ \frac{\partial(2T)}{\partial x}- \frac{\partial(N_1-N_2)}{\partial y}= -\frac{\partial(N_1+N_2)}{\partial y} . \end{matrix} \right. \] Den Gleichungen (2) wird genügt, wenn: \[ (3) \quad \left\{ \begin{matrix}\l\\ 2T=\alpha\frac{\partial(N_1+N_2)}{\partial y}- \beta\frac{\partial(N_1+N_2)}{\partial x}+\varphi, \\ N_1-N_2=\beta\frac{\partial(N_1+N_2)}{\partial y}+ \alpha\frac{\partial(N_1+N_2)}{\partial x}+\psi, \end{matrix} \right. \] \[ (4) \quad \frac{\partial \alpha}{\partial x}-\frac{\partial \beta}{\partial y} =-1, \quad \frac{\partial \alpha}{\partial x}+\frac{\partial \beta}{\partial y}=0, \] und wenn \(\varphi+\psi i=F(x+yi)\). Für \(\alpha\) und \(\beta\) braucht man nur partikulare Lösungen von (4) zu setzen, z. B. \(\alpha=-x, \beta=0\) oder \(\alpha=0, \beta=y\). Nimmt man für \(N_1+N_2\) eine harmonische Funktion und für \(F\) eine beliebige Funktion einer komplexen Variable, so ergeben sich aus (3) unendlich viele Lösungen der Gleichungen (1). Auf diese Weise leitet der Verf. die Resultate von \textit{Ribière} (F. d. M. 29, 686, 1898, JFM 29.0686.01), \textit{Mesnager} (F. d. M. 32, 803 u. 808, 1901, JFM 32.0803.02 u. JFM 32.0808.01), \textit{Belzecki} (F. d. M. 36, 876, 1905, JFM 36.0876.04) ab. Weitere Resultate sollen in einer größeren russischen Abhandlung veröffentlicht werden.