Über lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit drei im Endlichen gelegenen wesentlich singulären Stellen. (Q5910895)

Verf. untersucht die Gestalt einer linearen homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit drei im Endlichen gelegenen Punkten und dem unendlich fernen Punkt als wesentlich singulären Stellen, für welche die Koeffizienten der Substitutionen, die ein Fundamentalsystem von Integralen bei Umläufen der unabhängigen Variable um die im Endlichen gelegenen singulären Stellen erleidet, beliebig vorgeschriebene, also insbesondere von der Wahl der singulären Stellen unabhängige Werte besitzen. Es zeigt sich zunächst (Nr. I), daß\ neben den vier wesentlich singulären Stellen, als welche \(0, 1, t, \infty\) genommen werden, mindestens eine scheinbar singuläre Stelle vorhanden sein muß. Dann werden (Nr. II und III) die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die in den Koeffizienten vorhandenen Konstanten aufgestellt, damit die Differentialgleichung die oben angegebenen Eigenschaften besitzt, und gezeigt (Nr. IV), daß\ diese Bedingungsgleichungen mit einander verträglich sind. Es zeigt sich, daß\ der Wert \(\lambda\) der scheinbaren singulären Stelle als Funktion von \(t\) einer Differentialgleichung von \textit{Painlevé}schen Typus genügt, die durch Transformation mittels eines elliptischen Integrals in eine nicht homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung übergeführt werden kann, deren linke Seite mit derjenigen der \textit{Legendere}schen Gleichung übereinstimmt (Nr. V, VI). Hierauf wird (VII) der Zusammenhang der vorliegenden Untersuchungen mit dem \textit{Riemann}schen Problem klargestellt und dann (VIII) ein Spezialfall hervorgehoben, der zu der vorgelegten Differentialgleichung in ähnlicher Beziehung steht wie die \textit{Legendre}sche zur allgemein \textit{Gauß}schen Differentialgleichung. Schließlich wird gezeigt (IX), daß\ in besonderen Fällen die Differentialgleichung reduktibel sein und bei gewissen Spezialisierungen der Konstanten (X) in \textit{Gauß}sche Differentialgleichungen übergeführt werden kann. - Ein Auszug aus der vorliegenden Arbeit ist in den C. R. 141, 555 erschienen (vgl. F. d. M. 36, 397, 1905, JFM 36.0397.02).