Sur les équations linéaires aux différences finies. (Q5910901)

Gestützt auf Untersuchungen von \textit{Dini} über lineare Differentialgleichungen (Annali di Mat. (3) 2, 297-324; 3, 125-183; F. d. M. 30, 282-283, 1899, JFM 30.0282.03), entwickelt Verf. vier Theoreme über lineare Differentialgleichungen, von denen das zweite und das dritte hier angegeben werden mögen. Das zweite Theorem lautet: ``Es sei die lineare Differentialgleichung in der Form \[ a_{0}(x)\varDelta^{n}y(x)+a_{1}(x)\varDelta^{n-1}y(x+1)+\cdots+a_{n}(x)y(x+n)=0 \] gegeben, deren Koeffizienten mindestens für alle ganzzahligen positiven Werte von \(x\geqq\) einer ganzen Zahl \(\alpha\geqq 0\) definiert sind, und deren Koeffizient \(a_{0}(x)\) für keinen dieser Werte von \(x\) verschwindet. Man wählt jetzt ein beliebiges System von \(n\) Funktionen \(z_{1}(x),z_{2}(x),\dots,z_{n}(x)\), deren jede für alle ganzen positiven Werte von \(x\geqq\alpha\) definiert ist, während die Determinante \[ Q(x)=\left|\begin{matrix} z_{1} & \varDelta z_{1} & \varDelta^{2}z_{1} & \dots & \varDelta^{n-1}z_{1} \\ z_{2} & \varDelta z_{2} & \varDelta^{2}z_{2} & \dots & \varDelta^{n-1}z_{2} \\ \hdotsfor5\\ z_{n} & \varDelta z_{n} & \varDelta^{2}z_{n} & \dots & \varDelta^{n-1}z_{n} \end{matrix}\right| \] für keinen dieser Werte von \(x\) verschwindet. Zugleich wählt man ein System von \(n\) beliebigen Konstanten \(c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\) und bildet die Determinanten \[ A(x)=\left|\begin{matrix} z_{1} & \varDelta z_{1} & \dots & \varDelta^{n-2}z_{1} & c_{1}\\ z_{2} & \varDelta z_{2} & \dots & \varDelta^{n-2}z_{2} & c_{2}\\ \hdotsfor5\\ z_{n} & \varDelta z_{n} & \dots & \varDelta^{n-2}z_{n} & c_{n} \end{matrix}\right|, \] \[ \overline{q}(x,x_{1})=\left|\begin{matrix} z_{1} & \varDelta z_{1} & \dots & \varDelta^{n-2}z_{1} & f_{1}(x_{1})\\ z_{2} & \varDelta z_{2} & \dots & \varDelta^{n-2}z_{2} & f_{2}(x_{1})\\ \hdotsfor5\\ z_{n} & \varDelta z_{n} & \dots & \varDelta^{n-2}z_{n} & f_{n}(x_{1}) \end{matrix}\right|, \] worin \[ f_{r}(x)=z_{r}a_{n}-\varDelta\left\{z_{r}a_{n-1}\right\}+\varDelta^{2}\left\{z_{r}a_{n-2}\right\}-\cdots+(-1)^{n}\varDelta^{n}(z_{r}a_{0}) \qquad (r=1,2,\dots,n) \] ist, und setzt \[ \varPhi(x,x_{1})=\frac{\overline{q}(x+1,x_{1})}{a_{0}(x_{1}+n)Q(x_{1}+1)}\,, \quad \varPsi(x,x_{1})= \frac{A(x_{1}+1)\overline{q}(x+1,x_{1})}{a_{0}(x_{1}+n)Q(x_{1}+1)}\,. \] Endlich bildet man die unendliche Reihe \[ Y(x)=\frac{(-1)^{n-1}}{a_{0} (x+n)Q(x+1)}\;[A(x+1)+u_{1}(x)+u_{2}(x)+\cdots+u_{m}(x)+\cdots], \] wo \[ u_{m}(x)=(-1)^{m(n-1)} \sum_{x_{1}=x+1}^{x_{1}=\infty}\, \sum_{x_{2}=x_{1}+1}^{x_{2}=\infty}\dots\sum^{x_m=\infty}_{x_{m}=x_{m-1}+1}\;\varPhi(x,x_{1})\varPhi(x_{1},x_{1})\dots\varPhi(x_{m-2},x_{m-1})\varPsi(x_{m1},x_{m}). \] Wenn dann ein bestimmter Wert \(x_{0}\geqq\alpha\) derart existiert, daß\ für \(x\geqq x_{0}\) 1) jedes Glied \(u_{m}(x)\) eine Bedeutung hat, 2) die Reihe \(\sum_{x_{1}=x+1}^{x_{1}=\infty}| u_{m}(x_{1})|\) gegen eine Grenze \(U(x)\) derart konvergiert, daß\ auch die Reihe \(\sum_{x_{1}=x+1}^{x_{1}=\infty}|\varPhi(x,x_{1})| U(x_{1})\) konvergiert, 3) die Reihe \(Y(x)\), welche nach 1) und 2) sicher für \(x\geqq x_{0}\) konvergiert, eine derartige Funktion von \(x\) definiert, daß\ jeder der Ausdrücke \(\sum_{x_{1}=x+1}^{x_{1}=\infty}Y(x_{1})f_{r}(x_{1}) \quad (r=1,2,\dots,n)\) eine Bedeutung hat, so ist die Funktion \(y(x)=Y(x-n)\) für alle Werte von \(x\geqq x_{0}+n\) ein Integral der gegebenen Differenzengleichung. Dieses Integral ist für dieselben Werte von \(x\) das allgemeine Integral, wenn der Ausdruck \(A_{0}(x)=a_{0}(x)+a_{1}(x)+\cdots+a_{n}(x)\) für keinen dieser Werte von \(x\) verschwindet, während die Partikularintegrale \(y_{1}(x),y_{2}(x),\dots,y_{n}(x)\), welche den \(n\) Wertsystemen \(1,0,0,\dots,0\); \(0,1,0,\dots,0\); \(\dots\); \(0,0,0,\dots,1\) der Konstanten \(c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\) entsprechen, für alle Werte von \(x\) in dem angegebenen Intervalle existieren.'' Durch Spezialisierung der Funktionen \(z_{1}(x),z_{2}(x),\dots,z_{n}(x)\) als Fundamentallösungen einer linearen Differenzengleichung \(n\)-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten gelangt verf. zu dem III. \textit{Theorem}: ``Es sei eine lineare Differenzengleichung in der Form gegeben: \[ A_{0}(x)y(x+n)+A_{1}(x)y(x+n-1)+\cdots+A_{n}(x)y(x)=0, \] worin die Koeffizienten \(A\) mindestens für alle ganzzahligen positiven Werte von \(x\geqq\alpha\geqq 0\) definiert sind. Überdies möge der Koeffizient \(A_{r}(x)\), wenn \(x\) unendlich groß\ wird, derart gegen die Grenze \(B_{r}\) streben, daß\ die Differenz \(A_{r}(x)-B_{r}\) von derselben Ordnung unendlich klein wird wie die Ausdruck \(\frac{\tau(x)}{x}\), wo \(\tau(x)\) eine derartige positive Funktion ist, daß\ die Reihe \(\sum_{x_{1}=x+1}^{x_{1}=\infty}\frac{\tau(x_{1})}{x_{1}}\) konvergiert, z. B. \[ \tau(x)=\frac{1}{x^{\nu}}\,, \quad \frac{1}{(\log x)^{1+\nu}}\,, \quad \frac{1}{\log x(\log_{2}x)^{1+\nu}}\,,\dots \quad \quad \quad (\nu>0). \] Endlich sei \(B_{0}\neq 0\), \(B_{n}\neq 0\). Wenn dann die Wurzeln \(\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{n}\) der Gleichung \[ B_{0}\lambda^{n}+B_{1}\lambda^{n-1}+\cdots+B_{n}=0 \] alle von einander verschiedenen sind, so hat man folgende Resultate: 1) Wenn alle Wurzeln \(\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_n\) denselben Modul \(\lambda\) haben, so nimmt das allgemeine Integral der gegebenen Differenzengleichung für ganze Werte von \(x\), die größer als eine bestimmte Zahl sind, die Form an \[ y(x)=c_{1}\lambda_{1}^{x}+c_{2}\lambda_{2}^{x}+\cdots+c_{n}\lambda_{n}^{x}+ \lambda^{x}\varepsilon(x), \] worin \(c_{1},c_{2},\dots,c_{n}\) willkürliche Konstanten sind, während \(\varepsilon(x)\) für \(x=\infty\) von derselben Ordnung unendlich klein wird wie der Ausdruck \(\sum_{x_{1}=x+1}^{x_{1}=\infty}\frac{\tau(x_{1})}{x_{1}}\). 2) Wenn die Wurzeln \(\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{n}\) nicht denselben Moful haben, und wenn \(\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{h}(h<n)\) diejenigen sind, deren Modul den kleinsten Wert \(\lambda\) hat, so existiert ein Partikularintegral der gegebenen Gleichung, welches für ganze Werte von \(x\), die größer als eine bestimmte Zahl sind, die Form annimmt \[ y(x)=c_{1}\lambda_{1}^{x}+c_{2}\lambda_{2}^{x}+\cdots+c_{h}\lambda_{h}^{x}+ \lambda^{x}\varepsilon(x), \] wo \(c_{1},c_{2},\dots,c_{h}\) willkürliche Konstanten sind und \(\varepsilon(x)\) die oben angegebene Bedeutung hat.'' Im IV. Theorem wird dieser Satz dahin verallgemeinert, daß\ die Wurzeln \(\lambda_{1},\lambda_{2},\dots,\lambda_{n}\) nicht alle verschieden sind. Schließlich sei bemerkt, daß\ die Theoreme des Verf. sich auf die Untersuchung der Konvergenz algebraischer Kettenbrüche anwenden lassen.