Über die Bildung des Formensystems der ternären biquadratischen Form. (Q5910969)

\textit{Gordan} (F. d. M. 12, 96, 1880, JFM 12.0096.01 u. JFM 12.0096.02) stellte das vollständige Formensystem der speziellen automorphen Form \(f=x_{1}^{3}x_{2}+x_{2}^{3}x_{3}+x_{3}^{3}x_{1}\) auf; \textit{Maisano} (F. d. M. 13, 110, 1881, JFM 13.0110.01) gab für eine allgemeine biquadratische ternäre Urform \(f\) die invarianten Bildungen bis zur fünften Ordnung (in den Koeffizienten von \(f\)), und \textit{Pascal} (F. d. M. 18, 100, 1886, JFM 18.0100.02) machte davon Anwendungen auf Kriterien des Zerfallens von \(f\). Die Verfasserin hat sich als Ziel gesetzt, ein vollständiges Formensystem für eine allgemeine biquadratische \(f\) zu gewinnen, und stellt zu dem Behuf als Hauptgrundlage ein ``relativ vollständiges System'' auf. Ein erstes solches System wird gebildet durch die aus dem binären Gebiete übernommenen Formen; von da gelangt man nach bestimmten Gesetzen zu Systemen mit immer höherem Modul, bis das System eines Moduls endlich oder bekannt wird, oder aber der Modul ``reduzibel'' wird. Im vorliegenden Falle dient als erster Modul die Form \(\nu=(abu)^{4}\); als weitere Moduln werden gewählt \(\nu(\nu)=(\nu\nu_{1} x)^{4}=s_{x}^{4}, \quad \nu(s)=(ss'u)^{4}\) usf., denen noch zwei gewisse quadratische Formen \(u_{\varrho}^{2}\) und \(t_{x}^{2}\) adjungiert werden. Damit wird das Problem zurückgeführt auf das bekannte simultane System zweier quadratischen Formen, und man gelangt zu einem relativ vollständigen System von 331 Bildungen. Das wesentliche der Untersuchung ist der Faltungsprozeß. Liegt im ternären Gebiete ein symbolisches Produkt \(s_{x}^{m}t_{x}^{n}u_{x}^\mu u_\tau^{\nu}\) vor, so lassen sich vier verschiedene Arten von Faltung vornehmen, je nachdem man die Faktorenpaare \(s_{x}t_{x}\), \(u_{\sigma}u_{\tau}\), \(s_{x}u_{\sigma}\) oder \(s_{x}u_{\tau}\), \(t_{x}u_{\tau}\) oder \(t_{x}u_{\sigma}\) bzw. ersetzt durch \((stu)\), \((\sigma\tau x)\), \(s_{\sigma}\) oder \(s_{\tau}\), \(t_{\tau}\) oder \(t_{\sigma}\). Aus den ersten beiden Faltungen lassen sich die beiden letzten zusammensetzen, d. h. es genügt die Anwendung jener beiden ersten Arten. Irgendeine Ausgangsform bildet mit allen durch Faltung in sich aus dieser hervorgehenden Formen eine ``Formenreihe'', die sich in ein rechteckiges Schema anordnen läßt: Ein Reduzent ist eine reduzibe Formenreihe. Dann ist der Hauptsatz: ``Ist die Ausgangsform einer Formenreihe reduzibel dadurch, daß\ eines ihrer Glieder durch Faltung mit einem Reduzenten hervorgegangen ist, und ist die Schluß\ form der Formenreihe aus eben diesem Gliede durch Faltung entstanden, so ist die Gesamtformenreihe reduzibel.'' Läßt sich eine Form auf doppelte Art reduzieren, so gelangt man zu einer Relation zwischen den höheren Formen.