Geodätische Linien auf Polyederflächen. (Q5911114)

Hat man auf einer Polyederfläche eine geodätische Linie, von der zunächst angenommen sei, daß sie sich unbegrenzt fortsetzen lasse, ohne jemals durch eine Ecke zu gehen, so wird, wenn man die Polygone \(P_0,P_1,\dots\), welche die geodätische Linie der Reihe nach passiert, in eine Ebene abwickelt (wobei natürlich wenigstens ein Teil der Polygone des Polyeders unendlich oft auftritt), aus der geodätischen Linie eine Gerade. Eine solche Folge von Polygonen \(P_0,P_1,\dots\), bzw. ihre Abwicklung in der Ebene bezeichnet der Verf. als gerade Kette. Es sind einfache Ketten und Streifenketten zu unterscheiden. Die Kette heißt einfach, wenn zu ihr nur eine einzige Geodätische gehört. Bei einer Streifenkette verlaufen die zugehörigen Geodätischen parallel, sie bilden einen ``Streifen'' paralleler Geodätischer. Die Grenzlinien eines solchen Streifens können von zweierlei Art sein. Entweder nämlich geht eine solche Linie durch eine Polyederecke (berührede Grenzlinie), oder die Abstände der Grenzlinie von den Ecken der Polygone, welche sie passiert, haben die Null zur unteren Grenze, ohne daß ein Abstand gleich Null ist (asymptotische Grenzlinie). Bei einer geschlossenen Geodätischen wiederholen sich die zugehörigen Polygone periodisch; umgekehrt gilt: wenn eine gerade Kette periodisch ist, so sind die zugehörigen Geodätischen geschlossen. Die Grenzlinien müssen in diesem Falle berührende sein, da nur eine endliche Anzahl von Eckenabständen in Frage kommt. Beim Würfel, sowie beim regulären Oktaeder und Ikosaeder lassen sich die geschlossenen geodätischen Linien sehr leicht angeben infolge der einfachen Abwicklung, welche diese Polyeder ergeben. -- Wenn eine geodätische Linie in ihrem Verlauf in eine Ecke gerät, so kann es sein, daß eine Fortsetzung als geodätische Linie nicht möglich ist, ebenso können mehrere gleichberechtigte Fortsetzungen existieren.