On the arrangement of the real branches of plane algebraic curves. (Q5911165)

Die Arbeit nimmt als Ausganspunkt eine Anmerkung in \textit{D. Hilberts} Abhandlung ``Über die reellen Züge algebraischer Kurven'' (Math. Ann. 38, 118f.; F. d. M. 23, 753, 1891, JFM 23.0753.02), in welcher ohne Beweis der Satz ausgesprochen wird, daß, wenn eine ebene Kurve sechster Ordnung ohne Singularitäten die Maximalzahl von Zügen besitzt, nämlich 11, diese nicht so liegen können, daß niemals einer von ihnen ``innerhalb'' eines der andern liegt. Verf. gibt dem Satz eine etwas andere Form. Er nimmt an, daß alle Züge der algebraischen Kurve \(u=0\) ins Endliche projiziert seien, und daß für die Koordinaten eines jeden unendlich fernen Punktes \(u>0\) sei. Dann wird ein Zug, der nach der Projektion stets die Gestalt eines Ovals hat, ein ``inneres Oval'' genannt, wenn es in einem Gebiete, in welchem \(u\) negativ ist, ein Gebiet abgrenzt, in dem \(u\) positiv ist, andernfalls heißt das Oval ein ``äußeres''. Wenn also eine Reihe von Ovalen nestartig ineinander liegen, d. h. so, daß das erste das zweite umschließt, das zweite das dritte, usw., so gelten nur das zweite, vierte, sechste Oval und außerdem diejenigen von den weiteren Ovalen als innere, die in dem Ringe zwischen dem ersten und dem zweiten Oval, in dem Ringe zwischen dem dritten und dem vierten Oval usw. liegen. Nun verallgemeinert Verf. den von \textit{Hilbert} ausgesprochenen Satz in folgender Form für algebraische Kurven von beliebiger gerader Ordnung: Wennn eine ganz ins Endliche projizierte ebene Kurve \(2n\)-ter Ordnung ohne singuläre Punkte die Maximalzahl von Ovalen besitzt, so müssen von diesen wenigstens \(\frac 12(n-1)(n-2)\) innere Ovale sein. Die Richtigkeit dieses Satzes findet nun Verf. für alle Kurven \(2n\)-ter Ordnung bestätigt, welche die Minimalzahl von Zügen haben und gleichzeitig mit Hülfe der von \textit{Hilbert} a. a. O. und von \textit{Harnack} (Math. Ann. 10, 189-198; F. d. M. 8, 438, 1876, JFM 08.0438.01) angegebenen Methoden erhalten werden können. Diese Methoden bestehen in einer ``kleinen Variation'' einer Kurve mit der gleichen Eigenschaft, aber von einer um 2, bezw. um 1 niedrigeren Ordnung unter Zuhülfenahme eines Kegelschnitts, bezw. einer Geraden. Die allgemeine Gültigkeit des Satzes wäre freilich, wie Verf. hervorhebt, erst gewährleistet, wenn sich zeigen ließe, daß man mit Hülfe jener beiden Methoden oder durch gleichzeitige Anwendung beider \textit{alle} Kurven von gerader Ordnung mit der Maximalzahl von Zügen erhalten kann.