Sur les transformations ponctuelles. (Q5911181)

Es seien \(n\) Gleichungen \[ (1)\quad X_i=f_i(x_1,x_2,\dots ,x_n)\quad (i=1,2,\dots ,n) \] gegeben, so läßt sich nach den hinreichenden Bedingungen ihrer eindeutigen Umkehrbarkeit fragen, d. h. geometrisch gesprochen: nach den Bedingungen, unter denen einem Punkte \((X_1,X_2,\dots ,X_n)\) des Raumes \(R_n\) der \((X_i)\) stets ein und nur ein Punkt \((x_1,x_2,\dots ,x_n)\) des Raumes \(r_n\) der \((x_i)\) entspricht. Ist \((a_i)\) ein Punkt von \(r_n\), für den die Funktionaldeterminante \(\left|\frac {\partial f_i}{\partial x_i}\right|\) nicht Null ist, und \((A_i)\) sein Bild im \(R_n\), so läßt sich um den letzteren stets eine kleine ``Kugel'' beschreiben, so daß jedem Punkte im Innern dieser Kugel je ein und nur ein Punkt in der Umgebung des Punktes \((a_i)\) entspricht. Jene Bedingung ist aber nicht mehr hinreichend, wenn es sich um die eindeutige Umkehrbarkeit in ganzen Raume handelt. Hierfür stellt nun Verf. folgendes Theorem auf: Der kleinste Wert, den der Ausdruck \[ \left|\sqrt {\frac {dX_1^2+dX_2^2+\dotsm +dX_n^2}{dx_1^2+dx_2^2+\dotsm +dx_n^2}}\right| \] für Punkte der Kugelfläche \(x_1^2+x_2^2+\dotsm +x_n^2=\varrho^2\) annimmt, sei mit \(\mu_{\varrho}\) bezeichnet. Dann sind die Gleichungen (1) unbeschränkt eindeutig umkehrbar, wenn \(\mu_{\varrho}\) für beliebige \(x_i\) von Null verschieden ist und außerdem \(\int_0^{\infty}\mu_{\varrho} d\varrho\) einen unendlich großen Wert hat. In der ersten der beiden Arbeiten ist hierfür ein Beweisverfahren gegeben, das auch für geschlossene Mannigfaltigkeiten \(r_n,R_n\), wie die Kugel, gilt; in der zweiten Arbeit wird das Beweisverfahren der ersten näher erläutert und durch Figuren veranschaulicht; außerdem aber wird ein Beweis mitgeteilt, der mit elementaren Hülfsmitteln auskommt.