Sur les séries semi-convergentes. (Q5911306)

Die Summe einer semi-konvergenten Reihe komplexer Gliedern kann unendlich viele Werte annehmen, wenn die Reihenfolge geändert wird. Kann sie einen beliebigen Wert annehmen? -- Unter Umständen ist das der Fall. In der Reihe \(u_1 +u_2 +\cdots +u_n +\cdots\) konvergiere \(u_n\) für \(n=\infty\) gegen Null, \(u_n\) werde durch eine Strecke \(OA_n\) dargestellt, die in \(a_n\) einen um \(O\) mit einem willkürlichen konstanten Radius beschriebenen Kreis schneidet, \(a_n\) liege auf derselben Seite von \(O\) wie \(A_n\). Es ist möglich, daß\ die Werte von \(n\), für die \(a_n\) im Innern eines Bogens \(bc\) des Kreises liegt, in unendlicher Anzahl vorhanden sind, und daß\ die absoluten Beträge der entsprechenden Glieder eine unendliche Summe haben. Ist diese doppelte Bedingung nicht erfüllt, so hat der Rang dieser Glieder keinen Einfluß\ auf die Summe der Reihe; ist sie erfüllt, so existiert auf \(bc\) sicher ein solcher Punkt, für den jeder beliebig kleine Bogen \(b'c'\), der in seinem Innern \(a\) enthält, dieselbe Eigenschaft hat wie \(bc\); ist die gegebene Reihe nicht absolut konvergent, so gibt es wenigstens einen solchen Punkt auf dem Kreise. Dann heißt \(a\) ein Unbestimmtheitspunkt der Reihe \(u_1+ u_2 +\cdots\) Je nachdem diese Eigenschaft \(ac'\) oder \(ab'\) zukommt, heißt \(a\) ein Unbestimmtheitspunkt der Seite des Bogens \(ac\) oder \(ab\). Man zerlege die Geraden \(OA_n\), für welche \(a_n\) im Innern von \(ab'\) liegt, in zwei Komponenten der Richtung \(Oa\) und der dazu senkrechten Richtung \(Oa_1\); wenn dann die Komponenten der Richtung \(Oa_1\) eine unendliche Summe haben, wie klein auch \(ab'\) ist, so heißt \(a\) von der ersten Art der Seite des Bogens \(ab\), wenn nicht, so von der zweiten Art. Alle Unbestimmtheitspunkte der Reihe \(u_1 +u_2+\cdots\) bilden auf dem Kreise eine Menge \(E\); wenn eine unendliche Anzahl von Punkten dieser Menge zur Grenze einen Punkt \(a\) hat und sich auf derselben Seite dieses Punktes befindet, so ist für diese Seite \(a\) ein Unbestimmtheitspunkt erster Art. Man kann die Menge \(E\) willkürlich wählen und ihre Punkte der Bedingung unterwerfen, auf der einen oder der anderen Seite von der ersten oder der zweiten Art zu sein; es wird immer eine Reihe geben, die diesen Bedingungen genügt.