Sur les équations aux dérivées partielles du type elliptique. (Q5911324)

Ein Satz von \textit{Schwarz}, der sich auf die harmonischen Funktionen bezieht, wird hier verallgemeinert durch das folgende Theorem: Es sei \(z\) eine Lösung der Gleichung \[ \frac{\partial ^2z}{\partial x^2} +\frac{\partial ^2 z}{\partial y^2} =f \left( x, y, z,\;\frac{\partial z}{\partial x},\;\frac{\partial z}{\partial y} \right), \] wo \(f\) eine analytische Funktion seiner Argumente ist. Auf einer geschlossenen analytischen Kurve \(C\) soll sich \(z\) auf eine analytische Funktion des Bogens reduzieren, und außerdem soll \(z\) ebenso wie seine beiden ersten Ableitungen im Innern von \(C\) und auf \(C\) endlich sein. Dann kann \(z\) analytisch über \(C\) hinaus fortgesetzt werden. -- Besonderes Interesse beansprucht der spezielle Fall, bei dem \(f\) ein Polynom zweiten Grades in bezug auf \(\partial z/ \partial x \) und \(\partial z / \partial y\) ist, \(\partial f/ \partial z>0\) ist, und man a priori weiß, daß\ die Differentialgleichung ein reguläres Integral besitzt für jeden endlichen Wert von \(x\) und \(y\). -- Der Satz gilt auch noch, wenn die Gleichung lautet: \[ A\;\frac{\partial ^2 z}{\partial x^2} +2B\;\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y} +C\;\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} =D(AC-B^2 >0), \] wo \(A, B, C, D\) analytische Funktionen von \(x, y, z, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}\) sind.