Sulla deformazione dei paraboloidi. (Q5911366)

Die vorliegende Arbeit gibt, unter Zurückgreifen auf eine frühere (Torino Atti 38, 515-534; F. d. M. 34, 666, 1903, JFM 34.0666.02), eine genaue Theorie der Oberflächen, welche auf das allgemeine elliptische oder hyperbolische Paraboloid abwickelbar sind. Ihren Ausgangspunkt nehmen die Untersuchungen von der Bestimmung der Translationsflächen, deren Linienelement das Quadrat \[ \begin{split} ds^2 &= (a_{11}u^2 + 2a_{12}u + a_{22})du^2\\ &\qquad \pm2(a_{11}uv + a_{13}u + a_{12}v + a_{23}) du dv\\ &\qquad \qquad +(a_{11}v^2 + 2a_{13}v + a_{33})dv^2\end{split} \] mit konstanten Koeffizienten \(a_{ik}\) \((i,k = 1,2,3)\) besitzt. Dieses Problem hängt wesentlich ab von der Integration der partiellen Differentialgleichung \[ \frac{\partial^2\omega}{\partial u^2}\pm \frac{\partial^2\omega}{\partial v^2} = A\sin2\omega + B\cos2\omega \] mit konstanten \(A\), \(B\) und von der Lösung eines Systems homogener linearer Differentialgleichungen erster Ordnung. Für den Fall des allgemeinen Paraboloids gelingt es, die Integration dieses Systems durch Quadraturen durchzuführen. Die analytischen Untersuchungen stehen in mannigfachem innern Zusammenhang mit der Theorie der Flächen konstanten Krümmungsmaßes.