Notes on some points in the integral calculus. (Q5911412)

Fortsetzung dieser Artikelreihe (F. d. M. 34, 337, 1903, JFM 34.0337.01). XV. Über obere und untere Integration. Ein von W. H. Young in Lond. M. S. (Referat oben S. 310) bewiesener Satz lautet: Wenn \(f\) eine beliebige endliche Funktion und \(F\) die assoziierte obere halbkontinuierliche Funktion ist, so sind die oberen Integrale von \(f\) und \(F\), über ein beliebiges endliches Gebiet erstreckt, einander gleich. Hierin ist \(f\) eine beliebige Funktion einer beliebigen endlichen Anzahl von Variabeln, die immer zwischen gewissen endlichen Grenzen \(-G\) und \(+G\) liegt. Die Funktion \(F\) wird, wie folgt, definiert. Um irgend einen Punkt \(x\) beschreibe man ein Intervall \(x_\delta\) oder \((x - \delta,x + \delta)\); dann ist \(F(x)\) für \(\delta = 0\) die Grenze der oberen Grenze der Werte von \(f(x)\) für Punkte in diesem Intervalle. \(F(x)\) ist halbkontinuierlich bedeutet, daß sein Wert in \(x\) für \(\delta = 0\) die Grenze der oberen Grenze seiner Werte in \(x_\delta\) ist. Hardy zeigt, daß der Satz auch gilt, wenn man statt \(F(x)\) eine etwas anders definierte Funktion setzt. XVI. Eine Klasse bedingt konvergenter, unendlicher vielfacher Integrale. In Note X wurde dargelegt, was der Verf. unter bedingt konvergenten, unendlichen vielfachen Integralen versteht, und gezeigt, daß sie durchaus den bedingt konvergenten einfachen Integralen analog sind. In Note XI wurde bewiesen, daß einige besondere vielfache Integrale gemäß der Definition in Note X konvergent wären. In der gegenwärtigen Note wird die Konvergenz einer Klasse vielfacher Integrale dargetan, welche die natürliche Verallgemeinerung einer bekannten Klasse einfacher Integrale ist. Diese Integrale sind ganz analog einer Klasse bedingt konvergenter vielfacher Reihen, die der Verf. in Lond. M. S. Proc. (2) 1, 124-128 behandelt hat (F. d. M. 34, 279, 1903, JFM 34.0279.01).