Su una classe di equazioni a radici reali. (Q5911529)

Die Arbeit behandelt eine Klasse von Gleichungen, von denen die kubische Gleichung für die Aufsuchung der Achsen einer Fläche zweiter Ordnung ein ganz spezieller Fall ist. Auf rein algebraischem Wege unter Benutzung von Sätzen der Determinantentheorie, werden ihre Haupteigenschaften abgeleitet Von den Ergebnissen der Arbeit seien die folgenden hervorgehoben Wenn \[ A(x, y)=\sum_{\mu \nu}\;a_{\mu \nu} x_{\mu} y_{\nu}\text{ und } B(x, y)=\sum b_{\mu \nu} x_{\mu} y_{\nu} \] \[ (\mu, \nu=1, 2,\dots, n) \] zwei bilineare \textit{Hermite}sche Formen erster Art bedeuten, von welchen die eine sicher nicht unbestimmt ist, so sind sämtliche Wurzeln der Gleichung in \(\omega\) \[ D(\omega)=|a_{\mu \nu}-\omega b_{\mu \nu}|=0\quad (\mu, \nu=1, 2, \dots, n) \] reell. Aus den Unterdeterminanten von \(D(\omega)\) wird für diese Gleichung eine \textit{Sturm}sche Reihe aufgestellt. Setzt man eine beliebige Hauptunterdeterminante von \(D(\omega)\) gleich Null, so erhält man auch eine Gleichung mit lauter reellen Wurzeln. Wenn sich die Ordnungen zweier solcher Hauptunterdeterminanten um 1 unterscheiden und die eine in der andern enthalten ist, so trennen sich die reellen Wurzeln der beiden entstehenden Gleichungen gegenseitig. Die Spezialisation einer der beiden Formen führt zu interessanten, zum Teil bekannten Ergebnissen. Ist nur eine der beiden bilinearen Formen eine \textit{Hermite}sche, so sind im allgemeinen die Wurzeln von \(D(\omega) = 0\) komplex, genügen aber gewissen Beschränkungen, und der Verf. gelangt so zu Sätzen, die für spezielle Fälle kürzlich von \textit{Hirsch} und \textit{Bendixson} (Acta Mathematica \(25\), 1902) ausgesprochen sind. Endlich werden die gefundenen Resultate noch in zweierlei Richtung ausgedehnt, nämlich erstens auf eine Gleichung, die aus drei bilinearen Formen abgeleitet wird, und zweitens auf ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten, die aus zwei projektivischen Scharen bilinearer Formen entstehen.