On the number of primes below a given limit (Q5911546)

Verf. beweist durch sinnreiche Anwendung einfacher funktionentheoretischer Hülfsmittel auf die Riemannsche Zetafunktion verschiedene Sätze von anderer Art als die gewöhnlichen Sätze der Primzahltheorie, welche die Gültigkeit gewisser Relationen für alle hinreichend großen Werte der Variabeln aussprechen. Des Verf. Resultate besagen, daß gewisse Ungleichungen unendlich oft, d. h. für passend gewählte, beliebig große Werte der Variabeln erfüllt sind. Die wichtigsten Ergebnisse sind, wenn \(F(x)\) die Anzahl der Primzahlen \(\leq x\) bezeichnet: 1. Es gibt oberhalb jeder Schranke Werte von \(x\), für welche \[ F(x)-\int_2^x \frac{dy}{\log y} + \frac 12 \int_2^{\sqrt x} \frac{dy}{\log y} > \frac{1}{29}\;\frac{\sqrt x}{\log x} \] ist, und auch solche, für welche \[ F(x)-\int_2^x \frac{dy}{\log y} + \frac 12 \int_2^{\sqrt x} \frac{dy}{\log y} < - \frac{1}{29} \frac{\sqrt x}{\log x} \] ist. 2. \(\nu\) sei die obere Grenze der reellen Teile der Nullstellen von \(\zeta(s)\) (bekanntlich \(\frac 12 \leqq \nu \leqq 1\)) und \(\varepsilon\) sei eine beliebige positive Größe. Dann gibt es oberhalb jeder Schranke Werte von \(x\), für welche \[ F(x)-\int_2^x \frac{dy}{\log y} + \frac 12 \int_2^{\sqrt x} \frac{dy}{\log y} > x^{\nu-\varepsilon} \] ist, ebenso solche, für die \[ F(x)-\int_2^x \frac{dy}{\log y} + \frac 12 \int_2^{\sqrt x} \frac{dy}{\log y} < -x^{\nu-\varepsilon} \] ist. Alle Sätze des Verf. sind neu; zu bemerken wäre nur, daß in einer Arbeit von \textit{E. Phragmén} [Stockh. Öfv. 48, 599--616 (1891; JFM 23.0299.03)] speziellere Sätze ähnlicher Art schon bewiesen sind.