Notes on some points in the integral calculus. (Q5911562)

Fortsetzung der Reihe von Artikeln gleichen Titels aus den vorangehenden Bänden des Messenger (F. d. M. \( 32\), 304. 1901, JFM 32.0304.02 und \( 33\), 313, 1902, JFM 33.0313.02). XIII. Über die Differentiation unten dem Integralzeichen (Fortsetzung zu Nr. VIII; F. d. M. \( 32\), 306, JFM 32.0306.03). Die Note enthält eine Vereinfachung des von \textit{Jordan} (Cours d'analyse \( 2\), 156) gegebenen Beweises nach dem Muster der Beweise von \textit{Stolz} und \textit{Dini} für die Differentiation einer unendlichen Reihe. XIV. Integrale deren Unstetigkeiten überall dicht sind. Nach dem Vorgange von \textit{Hankel} und \textit{Dini} bei den unendlichen Reihen konstruiert derVerf. das bestimmte Integral \[ \int \frac{\log \frac 12 (1+pxi)}{\cos \frac 12 x}\;\frac{dx}{x^2} \quad (p>0), \] genommen über einen Weg, bestehend 1. aus einem großen Halbkreis mit \(O\) als Zentrum und \(R\) als Radius, 2. aus kleinen Halbkreisen um die ungeraden Vielfachen von \(\pi/p\) innerhalb des großen Halbkreises, 3. aus kleinen ebensolchen Halbkreisen um die ungeraden Vielfachen von \(\pi\), 4. aus einem kleinen Halbkreise um \(O\), 5. der reellen Achse d. h. den Stücken derselben, welche zwischen den kleinen Halbkreisen liegen. Es wird gezeigt, daß der Hauptwert dieses Integrals bei unendlich wachsendem \(R\) für alle positiven Werte von \(p\) konvergiert. Es ist stetig für alle Werte von \(p\), ausgenommen die rationalen Werte von der Form \((2\mu + 1)/(2\nu + 1)\). Für diese hat es eine Unstetigkeit von der Größe \[ \frac{(-1)^\nu 8}{(2 \nu+1)^2}\;\varDelta,\quad \varDelta= \sum_0^\infty\;\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}\,, \] und sein Wert für \(p_0=(2\mu+1)/(2 \nu +1)\) ist das arithmetische Mittel der Grenzen, gegen welche es auf beiden Seiten von \(p_0\) konvergiert. Dieses Ergebnis stimmt zu den allgemeinen Untersuchungen des Verf. in Lond. M. S. Proc. \( 34\), 89 (F. d. M. \( 32\), 303, 1901, JFM 32.0303.04).