Sur une équation différentielle du premier ordre. (Q5911566)

Verf. beschäftigt sich mit der zuerst von \textit{Abel} und seitdem vielfach behandelten Differentialgleichung: \[ {(1)}\quad (y+s)y'+p+qy+ry^2=0, \] welche durch geeignete Transformationen auf die Formen \[ {(2)}\quad zz'+p+qz=0 \] und \[ (3)\quad z'+a_1z^3+3a_2z^2+3a_3z+a_4=0 \] gebracht werden kann. Die Differentialgleichung (3) bewahrt bei der Substitution \(\frac{dx_1}{dx}=f(x)\), \(z=z_1 \varphi(x)+\psi(x)\) ihre Form, und es existieren dieser Transformation entsprechende Invarianten (vergl. C. R. 1886, 1887), deren Beziehungen für die Gleichung (3) charakteristisch sind. - An Stelle der von \textit{Appell} aufgestellten kanonischen Form \[ \frac{dY}{dx}=Y^3+J(x), \] in welcher \(J(x)\) eine absolute Invariante ist, die zu ihrer Herstellung eine Quadratur erfordert, wählt Verf. die folgende \[ \frac{dz_1}{dt}+\frac 1T \left( z_1^3+\frac{1-T}{3t}\;z_1+\frac 1t \right)=0, \] in welcher die absolute Invariante \(T\) keine Quadratur enthält; der Fall \(T=0\) wird besonders behandelt (\(\S\) 1). Im \(\S\) 2 werden in Anschluß an \textit{Abel} Fälle behandelt, in denen die Gleichung {(2)} einen Multiplikator \(\mu\) zuläßt, dessen Logarithmus eine ganze rationale Funktion zweiten oder dritten Grades in \(z\) ist, deren Koeffizienten von \(x\) abhängen; in jedem Falle wird die zwischen \(T\) und \(t\) bestehende unikursale algebraische Relation aufgestellt. Nach diesen Richtung werden auch andere, teils von \textit{Abel}, teils von \textit{Appell} und \textit{Halphen} angegebene Integrationsfälle untersucht. \(\S\) 3 ist dem Studium der Differentialgleichung \[ y'+2y^3(n_1^2x^3-n_2^2x)+3n_2y^2=0 \] gewidmet; dieselbe gestattet die rationale Transformation \[ \frac 1y +n_1x^2-n_2x=2n_1x_1^2,\quad \frac{1}{x_1y_1}=n_1x+n_2 \] in sich und ist trotzdem nicht algebraisch integrierbar, definiert also eine neue merkwürdige Transzendente; ähnliches gilt für eine gewisse Differentialgleichung zweiter Ordnung. Im \(\S\) 4 wird der Zusammenhang zwischen der Differentialgleichung (3) und gewissen linearen Systemen ausführlich dargelegt.