Sur le prolongement analytique. (Q5911826)

Das Polynom \[ P_n (x) = \frac{1}{n+1} \left[ 1+ \frac{x+n}{n+1} + \left( \frac{x+n}{n+1} \right)^2 + \cdots + \left( \frac{x+n}{n+1} \right)^{(n+1)^2} \right] \] stellt die Funktion \(1: (1-x)\) im Kreise \(| x+n | \leqq n+1 - \frac{1}{\sqrt{n+1}}\) dar; der Fehler ist kleiner als \(\sqrt{n+1} e^{- \sqrt{n+1}}\). Für \(n= \infty\) wird der Kreis zur Halbebene \(\overline P\), der Fehler \(0\); demnach: Die Reihe der Polynome \[ P_1(x) + [P_2 (x) - P_1(x)] + [P_3(x) - P_2(x)] +\cdots \] ist gleichmäßig konvergent und stellt die Funktion \(1: (1-x)\) in jedem im Innern der Halbebene \(\overline P\) enthaltenen Bereiche dar. Es sei eine beliebige \textit{Taylor}sche Entwickelung \[ f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots \] gegeben, deren Konvergenzradius weder Null, noch unendlich ist; setzt man \[ P_n(x) = \sum_0^{(n+1)^2} [a_{\nu} x^{\nu} + \binom{\nu}{1} na_{\nu -1} x^{\nu -1} + \cdots + \binom{\nu}{\nu} n^{\nu} a_0] \cdot \frac{1}{(n+1)^{\nu +1}}, \] so ist die Reihe der Polynome \[ P_1(x) + [P_2(x) -P_1(x)] + [P_3(x) - P_2(x)] + \cdots \] gleichmäßig konvergent und stellt die durch die Entwicklung \[ a_0 + a_1x + a_2 x^2 + \cdots \] definierte Funktion \(f(x)\) in jedem, ganz innerhalb des Summierbarkeitspolygons \(P\) (im \textit{Borel}schen Sinne) enthaltenen Bereiche dar.