Über partielle Integration. (Q5911829)

Als partielle Integration pflegt man bekanntlich das durch die Formel \(\int v \cdot du = u \cdot v - \int u \cdot dv\) definierte Integrationsverfahren zu verstehen. Diese Formel stellt aber nur den speziellen Fall eines allgemeinen Verfahrens dar, welches mit mehr Recht den Namen der partiellen Integration verdient, da es wirklich die Umkehrung der partiellen Differentiation ist. Zur Berechnung von \[ y= \smallint f(u,v) dx, \] wo \(u\) und \(v\) Funktionen von \(x\) sind, kann man nämlich anfangs \(v\) als konstant ansehen und erhält \(y_0 = \int' f(u,v) dx\), wo der Akzent am Integralzeichen an die Konstanz von \(v\) erinnert. Dann ist \(y_0\) im allgemeinen eine Funktion von \(v\) und \(x\), da man zur Ausführung der Integration \(u\) durch \(x\) ausgedrückt haben wird. Offenbar ist dann \[ y=y_0 - \int \frac{\partial y_0}{\partial v}\;dv = y_0 - \int \frac{\partial y_0}{\partial v}\;\frac{dv}{dx} dx, \] und das durch diese Formel definierte Integrationsverfahren sollte eigentlich als partielle Integration bezeichnet werden. Für \(f(u,v) = v\) und \(x=u\) erhält man als speziellen Fall die Formel der gewöhnlichen partiellen Integration. Wenn auch die Integrationen, welche sich nach diesen Verfahren ausführen lassen, so führt doch das obige Verfahren häufig schneller zum Ziele und scheint besonders zur Ableitung einer großen Menge von Transformationen von Integralen sehr fruchtbar zu sein. Dies wird noch an einer Reihe von Beispielen gezeigt; von diesen verdienen besonders diejenigen hervorgehoben zu werden, in welchen \(v\) als implizite Funktion von \(x\) oder durch eine Differentialgleichung von der Form \(\frac{dv}{dx} = \varphi (x,v)\) gegeben ist (vergl. das folgende Referat, siehe JFM 32.0298.01).