Notes on some points in the integral calculus. (Q5911831)

Unter dem gemeinsamen Titel hat der Verf. acht verschiedene Notizen zusammengestellt, in denen er über einzelne Punkte der Integralrechnung seine Untersuchungen bekannt gibt. I. Über die Formel für partielle Integration. Wenn \(f(x)\) und \(\varphi(x)\) im Intervalle \((a\dots A)\) endlich und integrabel sind, so ist \[ \int^A \varphi (x) dx \int_a^x f(x)dx + \int_a^A f(x)dx \int_a^x \varphi(x)dx = \int_a^A f(x)dx \int_a^A \varphi(x)dx. \] II. Zwei allgemeine Konvergenztheoreme. 1. Wenn \(\varphi(x)\) ein konvergentes Integral besitzt und in keinem endlichen Intervalle sein Zeichen unendlich oft wechselt, wenn ferner die Grenzen der Unbedtimmtheit von \(\int^x \varphi(x)dx\) für \(x= \infty\) endlich sind, endlich wenn \(\psi (x)\) für \(x= \infty\) sich stetig der Null nähert, so ist \(\int^{\infty} \varphi(x) \psi(x) dx\) konvergent. 2. Wenn \(\varphi(x)\) in keinem endlichen Intervall sein Zeichen unendlich oft wechselt und \(\int^{\infty} \varphi(x)dx\) konvergent ist, wenn ferner \(\psi(x)\) positiv ist und nie mit \(x\) wächst, so ist \(\int^{\infty} \varphi(x) \psi(x) dx\) konvergent. III. Über die logarithmischen Kriterien für die absolute Konvergenz eines Integrals, dessen obere Grenze unendlich ist. Gegen die \textit{Pringsheim}schen Ausdrücke wird geltend gemacht, daß\ dieselben diskontinuierlich sind, daß\ sie vermittelst arithmetisch definierter und selbst wesentlich diskontinuierlicher Funktionen konstruiert sind, daß\ sie endlich innerhalb der Intervalle, in denen sie kontinuierlich sind, konstant bleiben. Statt dieser Funktionen wird als von jenen Mängeln nicht behaftet vorgeschlagen: \(\psi(x) = x(lx)^{\nu} \sin^2 llx + x(lx)^{\mu} \cos^2 llx\). IV. Über das Integral \[ \int^{\infty} \sin x . \psi(x)\;dx. \] An dem Beispiel \[ \int^{\infty} \frac{\sin x}{x^{\mu} - a\sin x}\;dx \] wird gezeigt, daß\ es divergent für \(0< \mu\overset{=}< \frac 12\). V. Über absolut konvergente Integrale von Funktionen, die unendlich oft unendlich sind. Als Beispiel hierfür wird die Funktion \(s_{\nu} (x)\) gebaut: \[ s_1(x) = \sin x,\; s_2 (x)= \sin [1/s_1(x)],\; s_3 (x)= \sin [1/s_2 (x)],\; \dots; \] von ihr wird gezeigt, daß\ \[ \varphi_{\nu} = \int_0^{\pi} [s_{\nu} (x)]^{-\lambda} \cdot \cos x \cdot \cos \frac{1}{s_1(x)} \cdots \cos \frac{1}{s_{\nu -2} (x)} \cdot dx \] konvergiert und kleiner als \(\left( \frac 73 \right)^{\nu -1} K\) ist, wo \(K\) eine Konstante bezeichnet. VI. Absolute Konvergenz unendlicher vielfacher Integrale. Untersuchung der Konvergenz von \[ \iiint \cdots \frac{\varTheta (x_1, x_2, \dots, x_n)}{[\varSigma f_1^2]^{\frac 12 \mu}}\;dx_1 \dots dx_n \qquad (i= 1,2, \dots, k) \] wo die \(f_i =0\) regelmäßige \((n-1)\)-fache Mannigfaltigkeiten von \[ x_1, x_2, \dots, x_n \] sind, auf denen der Nullpunkt ein gewöhnlicher Punkt ist, mit einer \((n-k)\)-fachen Mannigfaltigkeit durch den Nulpunkt als Schnitt. VII. Über Differentation unter dem Integralzeichen. Wenn der Differenzenquotient \([f(x, \alpha_0 +h) - f(x, \alpha)]: h\) gleichmäßig gegen eine Grenze \(\partial f(x, \alpha_0) /\partial \alpha_0\) konvergiert, so hat das Integral \(\int_a^A f(x, \alpha) dx\) für \(\alpha = \alpha_0\) eine rechtsseitige Ableitung \(\int^A dx \partial f(x, \alpha_0)/ \partial \alpha_0\). VIII. Absolut konvergente Integrale unregelmäßiger Typen. Wenn \(\mu >0\), \(\nu >0\) so ist \[ \int_0^{\infty} \frac{x^{\mu} dx}{1+ x^{\nu} \sin^2 x} \] konvergent oder divergent, wenn bezw. \(\frac 12 \nu >\) oder \(\overset{=}< \mu +1\). Ausdehnung dieser Betrachtung auf andere Formen, so auch auf das von \textit{P. du Bois-Reymond} behandelte Integral \[ \int^{\infty} \varphi (x) e^{- \psi (x) \sin^2 x} dx. \]