Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen. (Q5911833)

Im Anschluß\ an eine Arbeit von \textit{Heun} über denselben Gegenstand (Zeitschr. f. Math. 45; F. d. M. 31, 333, 1900, JFM 31.0333.02) gibt der Verf. eine Näherungsmethode, die vor der \textit{Heun}schen den Vorteil hat, eine größere Auswahl von Zahlenkoeffizienten zu gewähren, und die so in den Stand setzt, Näherungen von bestimmter Ordnung bei Berechnung von möglichst wenig Funktionswerten und rationalen Koeffizienten aufzustellen. Für die Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = f(x,y)\) wird folgender Ansatz aufgestellt: \[ \begin{aligned} & \varDelta'\quad = f(x,y) \varDelta x,\;\varDelta'' = f(x + \kappa \varDelta x, y+ \kappa \varDelta') \varDelta x,\\ & \varDelta'''\;=f( x+ \lambda \varDelta x, y+ \varrho \varDelta'' + (\lambda - \varrho) \varDelta') \varDelta x,\\ & \varDelta'''' = f(x+ \mu \varDelta x, y+ \sigma \varDelta''' + \tau \varDelta'' (\mu - \sigma -\tau) \varDelta') \varDelta x,\\ \hdotsfor1\end{aligned} \] und die gewünschte Annäherung erhält man in \(\varDelta y= a\varDelta' + b\varDelta'' + c\varDelta''' + d\varDelta'''' + \cdots\). Dabei sind die Größen \(\kappa, \lambda, \mu, \dots\); \(\varrho, \sigma, \tau, \dots\); \(a,b,c,d, \dots\) beliebig verfügbare Zahlenkoeffizienten, die so zu bestimmen sind, daß\ bei der Entwicklung von \(\varDelta y\) nach dem \textit{Taylor}schen Satze eine Übereinstimmung mit der wahren bis gewünschten Ordnung erzielt wird. Die Rechnung wird für die Näherungen bis zur sechsten Ordnung durchgeführt. Während bei den Näherungen bis zur vierten Ordnung einschließlich die Anzahl der zu berechnenden Funktionswerte mit der Ordnungszahl der Näherung übereinstimmt, tritt bei der fünften Ordnung zum erstenmal der Fall ein, daß\ die Anzahl der bei 5 Funktionswerten zu befriedigenden Bedingungsgleichungen größer ist als die Anzahl der verfügbaren Zahlenkoeffizienten, so daß\ in diesen Falle nur unter einer gewissen Beschränkung die gewünschte Näherung gegeben wird. Zum Schluß\ werden an der Gleichung \(\frac{dy}{dx} = \frac{y-x}{y+x}\), ausgehend von \(x=0\), \(y=0\), die Resultate der Näherungen bis zur vierten Ordnung in drei verschiedenen Endwertwen nach den Methoden von \textit{Euler, Runge, Heun} und \textit{Kutta} mit den aus dem Integral gefundenen wahren Werten verglichen.