Zur Theorie der gleitenden Reibung. (Q5911847)

Durch die sonderbaren Folgerungen angeregt, welche \textit{Painlevé} in seinen ``Leçons sur le frottement'' (F. d. M. 26, 781, 1895, JFM 26.0781.03) und in mehreren Noten der C. R. aus den \textit{Coulomb}schen Gesetzen der Reibung während der Bewegung, der Ruhe und der Entstehung der Bewegung gezogen hat, stellt der Verf. mit gewohnter Gründlichkeit und umsichtiger Schärfe Untersuchungen an, die sich ausschließlich mit solchen Problemen beschäftigen, in denen die Reibung immer nur an einem einzigen Punkte wirkt. Die subtilen Unterscheidungen, die gemachten Hypothesen und die exakten Definitionen, deren Einführung im Laufe der Betrachtung notwendig wird, ferner der streng mathematische, durch viele Formeln gestützte Gedankengang machen eine gedrängte Wiedergabe des Inhaltes der umfangreichen Abhandlung unmöglich. Die Disposition des Stoffes ist aus den folgenden Überschriften zu ersehen: \(\S\) 1. Allgemeine analytische Vorbemerkungen. I. Der einzelne Punkt und die Reibungsgesetze. Ebene Bewegungen. \(\S\) 2. Der einzelne materielle Punkt auf starrer Kurve oder Fläche und die Reibungsgesetze. \(\S\) 3. Einfaches Pendel, dessen Aufhängungspunkt auf fester, rauher Kurve gleitet. \(\S\) 4. Ebene Bewegung einer Scheibe (oder eines Reifens) auf fester rauher Kurve. II. Räumliche Bewegung eines starren Körpers auf starrer Fläche. \(\S\) 5. Grundformeln und Berührungsbedingung. \(\S\) 6. Die Differentialgleichungen der Bewegung. \(\S\) 7. Bestimmung des Zeichens \(\varepsilon\) und Ermittelung aller der Körper, für welche der Normalwiderstand der Unterlage unabhängig von der Reibung wird. \(\S\) 8. Die Reibung in Ruhe und die Differentialgleichungen des Rollens. \(\S\) 9. Die Reibung bei entstehender Bewegung. Der Hauptfall \(\varDelta_0 >0\). \(\S\) 10. Fortsetzung. Der Grenzfall \(\varDelta =0\). Schließliche Möglichkeit eines Widerspruchs. Um von den erlangten Resultaten einige Vorstellung zu geben, führen wir aus \(\S\) 2 die folgenden allgemeinen Sätze an: I. (Gesetz der Reibung während und bei Entstehen der Bewegung.) So oft der Punkt auf seiner Unterlage wirklich gleitet oder auch nur eben erst zu gleiten beginnt, besitzt die Reibung stets die gerade entgegengesetzte Richtung der relativen Geschwindigkeit, welche der Punkt augenblicklich gegen die Unterlage besitzt, resp. augenblicklich zu erhalten im Begriff steht, und die Stärke \(R= fN\). II. (Gesetz der Reibung in Ruhe und bei entstehender Bewegung.) Bezeichnet \(R_0\) die Stärke, welche die Reibung besitzen müßte, um den Punkt auf seiner Unterlage in relativer Ruhe zu erhalten, und \(N_0\) die gleichzeitige Stärke des Normalwiderstanuds der Unterlage, so tritt von einem solchen Momente \(t=t_0\) ab, in welchem die relative Geschwindigkeit des Punktes gegen seine Unterlage gleich Null ist, relative Ruhe oder relative Bewegung des Punktes auf dieser ein, je nachdem in diesem Momente die Differenz \(\varDelta \equiv R_0 - fN_0 <0\) oder \(> 0\) ist, während je nach Umständen sowohl das eine wie das andere eintreten kann, wenn augenblicklich auch \(\varDelta\) gerade \(= 0\) ist. III. Die Stärke \(R\) der wirklich tätigen Reibung kann in keinem Momente größer werden als das Produkt aus dem Reibungskoeffizienten in die augenblickliche Stärke des Normalwiderstands der reibenden Unterlage. -- Für \textit{Körper} auf rauher Unterlage: IV. So lange der Körper auf seiner Unterlage gleitet und ebenso auch, wenn er eben nur erst zu gleiten beginnt, wirkt stets die Reibung an demjenigen Körperpunkte, der gerade die Unterlage berührt, der relativen Geschwvindigkeit direkt entgegen, die dieser Punkt gerade besitzt, oder doch gerade zu erhalten im Begriff steht, und mit der Stärke \(R = fN\), wo \(N\) die absolute Stärke des augenblicklichen Normalwiderstands der Unterlage gegen den Körper, und der Reibungskoeffizient \(f\) eine positive Konstante ist. V. Es sei \(R_0\) die Stärke, welche die Reibung besitzen müßte, um den Körper im Rollen zu erhalten, und \(N_0\) die gleichzeitige Stärke des Normalwiderstands. Von einem Augenblick \(t= t_0\) an, in welchem die relative Geschwindigkeit \(w\) des gerade berührenden Körperpunktes gegen die Unterlage Null ist, bleibt dann diese Geschwindigkeit Null oder wird positiv, tritt also Rollen oder Gleiten ein, je nachdem in diesem Momente die Differenz \(\varDelta \equiv R_0 -fN_0 <0\) oder \(> 0\) ist, während, wenn dieselbe augenblicklich ebenfalls verschwindet, je nach Umständen ebensowohl Rollen als auch Gleiten eintreten kann. Aus \(\S\) 4 zu erwähnen: Nur dann, wenn die Scheibe kreisförmig ist und überdies ihren Schwerpunkt im Mittelpunkt hat, oder aber, wenn sie sich auf einen Stab reduziert, ist stets der Normalwiderstand, den sie von der festen Kurve erfährt, unabhängig von der Reibung. -- Aus \(\S\) 7: Bei der Bewegung auf starrer Fläche besitzen, und zwar gleichviel, ob die Fläche ruht oder selbst in gegebener Bewegung begriffen ist, unter Voraussetzung bloß\ einpunktiger Berührung (von Fläche auf Fläche) nur diejenigen Kugeln, deren Schwerpunkt in den Mittelpunkt fällt, und (unter Vernachlässigung ihrer Dicke) die Scheiben die Eigenschaft, daß\ der normale Winderstand, den sie von der starren Fläche erfahren, stets unabhängig ist von der Reibung.