Über die Grundlagen der Geometrie. (Q5911895)

In seinen Grundlagen der Geometrie hat \textit{Hilbert} die elementare Proportionslehre unter Zuhülfenahme der Kongruenzaxiome ohne irgend ein Stetigkeitsaxiom entwickelt und im Anschluß\ daran eine rein geometrische Streckenrechnung gegeben. Das Verdienst, solche Entwicklungen gegeben zu haben, wurde von einigen späteren Autoren \textit{Hilbert} ausschließlich zugeschrieben. Demgegenüber weist \textit{Schur} auf einen schon früher von ihm (Math. Ann. 51, 401-409; F. d. M. 29, 457, 1899, JFM 29.0457.02) gegebenen Beweis für die Möglichkeit, die projektive Geometrie unter Zuhülfenahme der Kongruenzaxiome und Vermeidung von Stetigkeitsaxiomen aufzubauen, hin, wodurch auch die Möglichkeit solcher Entwicklungen für die Proportionslehre in Evidenz trete. Die gegenwärtigen Ausführungen sollen zeigen, daß\ die schon vor Jahren in Vorlesungen durchgeführten Prinzipien des Verf. ``durch ihre Unabhängigkeit vom Parallelenaxiom viel weiter führen und den Umfang ihrer Unabhängigkeit vom Archimedischen Postulat an fertigen Formeln unmittelbar lassen.'' Wir möchten hiergegen nur daran erinnern, daß\ \textit{Hilbert} bei seiner Proportionslehre nicht nur die Unabhängigkeit vom Archimedischen Axiom, sondern auch die ausschließliche Anwendung \textit{ebener} Axiome betont. Auch sonst scheinen manche Einwendungen gegen die Zweckmäßigkeit oder Korrektheit der Ausführungen \textit{Hilberts}, dessen Verdienste übrigens wohl anerkannt werden, nicht zutreffend. So besagt der Umstand, daß\ in dem einen Anordnungsaxiom bei \textit{Hilbert} auch eine Aussage über die Verknüpfung der Elemente enthalten ist, nichts gegen die Trennung von Verknüpfungs- und Anordnungsaxiomen, -- Entsprechendes ließe sich bei den Kongruenzaxiomen vorbringen --; es genügt vielmehr, daß\ die sogenannten Verkn\"pfungsaxiome den Anordnungsbegriff nicht enthalten, um ihre Zusammenfassung zu einer besonderen Axiomgruppe zu rechtfertigen. Auch liegt die Unterscheidung tiefer. Denkt man sich nämlich in bekannter Weise die Geometrie durch Hinzunahme der imaginären Elemente erweitert und sodann den Unterschied zwischen reellen und imaginären Elementen aufgehoben, so fällt aus dem gesamten Gebäude der geometrischen Sätze ein Teil heraus, während die andern ein in sich abgeschlossenes Ganzes bilden. So werden auch alle auf die bezüglichen Aussagen illusorisch, die Axiome der Verknüpfung aber bleiben unverändert bestehen. Dürfte so auch manche Bemerkung des Verf. Widerspruch finden, so wird im übrigen doch jeder seine Arbeit mit Freuden begrüßen; schon die Hinweise auf die ältere Literatur, deren Ergebnisse die gebührende Berücksichtigung finden, sind sehr wertvoll. Im Abschnitt werden, nachdem die ``Axiome der projektiven Geometrie'' (= Axiome der Verknüpfung und Anordnung bei \textit{Hilbert}) in der von \textit{Ingrami} gegebenen Form vorgebracht sind, die Folgerungen bis zum \textit{Desargues}schen Satz im Strahlenbündel. (Beweis nach \textit{Reyes y Prosper}) entwickelt. Im Anschluß\ daran wird gezeigt, daß\ man zwei Strahlenbündel, und zwar nur auf eine Weise, so eindeutig auf einander beziehen kann, daß\ Strahlen einer Ebene wieder solche entsprechen und Strahl des einen Bündels, der eine vorgegebene Ebene trifft, im andern Bündel die nach dem Schnittpunkt gehende Gerade entspricht. Das Parallelenaxiom wird natürlich nicht vorausgesetzt. Für die Möglichkeit, auf diesen Satz die Theorie der idealen Elemente aufzubauen, wird auf eine frühere Veröffentlichung verwiesen. Es folgen im zweiten Abschnitt die Kongruenz- oder Bewegungsaxiome frei nach \textit{Peano}. Die Folgerungen aus ihnen führen bald zu dem Begriffe des rechten Winkels und dem Satze, daß\ alle Lote auf einer Ebene sich in demselben eigentlichen oder uneigentlichen Punkte schneiden. Im dritten Abschnitt wird eine Geometrische Streckenrechnung definiert, welche der Streckenrechnung in der Geraden der euklidischen Geometrie, aber in projektiver Form entspricht. Die hier erhaltenen Resultate werden aber sodann im vierten Abschnitt dazu verwertet, die Grundformeln für die nichteuklidische Geometrie zu entwickeln, und zeigt es sich in der Tat, daß\ die auf die \textit{v. Staudt}sche Wurfrechnung gegründeten Prinzipien des Verf. von großer Tragweite sind.