Sulla deformazione delle congruenze e sopra alcune classi di superficie applicabili. (Q5911912)

Der Verf. hat sich schon in früheren Abhandlungen mit der Deformation von Geradenkongruenzen beschäftigt, worüber F. d. M. 30, 552, 1899 und 31, 609, 1900 (siehe JFM 30.0552.07 und JFM 31.0609.03) berichtet ist. Das Verhältnis vorliegender Arbeit zu jenen früheren ist charakterisiert durch die verschiedenen Arten der Verbiegungen, die darin vorausgesetzt sind. Bei der ersten Art Verbiegung nach \textit{Beltrami}, die auch in den schönen Untersuchungen von \textit{Guichard} angenommen war, denkt man sich die Geraden der Kongruenz ausgehend von Punkten einer Fläche \(S\), welche die Kongruenz bei allen ihren Verbiegungen mit sich nimmt, indem jede Gerade als starr verbunden mit dem von ihm durchsetzten Flächenelement gilt. Bei der zweiten Art der Verbiegung einer Geradenkongruenz nach \textit{Ribaucour} denkt man sich deren Geraden liegend in den Tangentialebenen einer Fläche \(\varSigma\), welche die Kongruenz bei ihren Verbiegungen mitführt, indem die Tangentialebenen und in diesen die Kongruenzgeraden als starr mit der Fläche \(\varSigma\) verbunden gelten. Unter Voraussetzung des zuletzt angeführten Verbiegungsmodus wird im ersten Teil der Note die Aufgabe behandelt: Diejenigen Flächen \(\varSigma\) (charakterisiert durch die Linienelemente) und die \textit{Normalkongruenzen} \(C\), deren Gerade einzeln in den Tangentialebenen von \(\varSigma\) liegen, von der Beschaffenheit zu bestimmen, daß\ eine Normalfläche \(S\) der Kongruenz a) eine Minimalfläche, b) eine FIäche konstanter Krümmung ist und dies bei allen Verbiegungen bleibt. Der zweite Teil der Abhandlung ist der Umkehrung dieser Aufgabe gewidmet: Gegeben ist die Fläche \(S\), welche a) eine Minimalfläche, oder b) eine Fläche konstanter Krümmung ist; man soll durch jede Normale der Fläche \(S\) eine Ebene so hindurchlegen, daß\ diese \(\infty^2\) Ebenen eine Fläche \(\varSigma\) umhüllen mit einem Linienelement, wie sie die Lösung der ursprünglichen Aufgabe ergab. Um den Gang der Rechnung wenigstens oberflächlich skizzieren zu können, stellen wir die dazu notwendigen Bezeichnungen, wie sie Verf. der Reihe nach einführt, zusammen. \(\varSigma\) die gesuchte Fläche, in deren \(\infty^2\) Tangential die Kongruenzgeraden \(g\) liegen; \(K\) das Krümmungsmaß\ in einem Punkte \(P= (x,y,z)\) von \(\varSigma\); \(\pi\) ist die Tangentialebene in \(P\). \(M\) der Fußpunkt des Lotes vom Punkte \(P\) auf die in der zugehörigen Tangentialebene \(\pi\) liegende Kongruenzgerade und \(\overline{PM} = \varLambda\). \(\mu\) der Punkt, in welchem \(g\) eine Normalfläche \(S\) trifft, \(\overline{M\mu} =T\). \(u=\)const., \(v=\)const. zwei Kurvenscharen auf \(\varSigma\). Wenn \(u=c, v=c_1\) die durch \(P\) hindurchgehenden Kurven sind, so ist \(PM\) Tangente in \(P\) an die Kurve \(u=c\), und die Tangente in \(P\) an \(v=c_1\) ist parallel \(g\). Die zwei quadratischen Fundamentalformeln für \(\varSigma\) sind \[ ds^2 = Edu^2 + Gdv^2,\quad Ddu^2 + 2D'dudv + D''dv^2. \] \(\varLambda, T\), sind Funktionen von \(u,v\). Mit den hiermit eingeführten Größen läßt sich die Kongruenz ganz elementar analytisch darstellen. Insbesondere ergeben sich als Funktionen von \(u,v\) die 7 Fundamentalgrößen, welche nach \textit{Kummer} für die Kongruenzen angeschrieben werden, \(E',F',G',e, f, f',g\), die sich rational durch \(D,D',D'', \sqrt E, \sqrt G, \varLambda\) nebst den ersten Differentialquotienten von \(\sqrt E, \sqrt G, \varLambda\) ausdrücken. Ist nun eine Kongruenz eine Normalenkongruenz, so ist \(f=f'\), und da diese Bedingung außer \(\varLambda\), dem Krümmungsmaß\ \(K\) und den Fundamentalgrößen \(\sqrt E, \sqrt G\) nur die ersten Ableitungen von \(\varLambda, \sqrt E, \sqrt G\) enthält, so folgt zunächst, daß\ eine Normalenkongruenz bei allen Verbiegungen der Fläche \(\varSigma\) eine Normalenkongruenz bleibt, und daß, präziser noch, die Punkte \(\mu\) der Kongruenzgeraden, welche einmal auf einer Normalfläche liegen, bei allen Verbiegungen wieder auf Normalflächen liegen. Danach sind nun unschwer folgende Gleichungen aufzustellen für die Hauptkrümmungsradien in einem Punkte \(\mu\) von \(S\): \[ r_1 + r_2 = 2T + \frac{eG' - (f+f') F' + gE'}{E'G' - F'^2}, \] \[ r_1 r_2 = T^2 + T\;\frac{eG' - (f+f')F' + gE'}{E'G' - F'^2} + \frac{eg-ff'}{E'G' -F'^2} \,. \] Mit Benutzung dieser Formeln gelangt man nun leicht für die Lösung des gegebenen Problems zu einem System von 3 partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung für \(E,G, \varLambda\). Für den Fall einer Mimimalfläche \(S\) ergibt sich als Linienelement der Fläche \(\varSigma\): \[ (\text{I}) \qquad ds^2 = du^2 +\{ 2u - 2v + ae^{-2v} \} dv^2. \] Für den Fall einer Fläche \(S\) konstanter Krümmung \(K_1 = \frac 1A\) ergeben sich für das Linienelement von \(\varSigma\) zwei Fälle: \[ (\text{II}) \qquad ds^2 = e^{2[av- (a+1)u]} du^2 +\{ aA +ke^{-2v} - \frac{a}{a+1}\;e^{2[av- (a+1) u]} \} dv^2 \] oder \[ (\text{III}) \qquad ds^2 = e^{-2v} du^2 + \{2(v-u) e^{-2v} -A\} dv^2. \] Dabei sind \(a,k\) konstante Größen. Daß\ unter den Flächen \(\varSigma\) im Falle a) die Evoluten von den Minimalflächen, im Falle b) die Evoluten von den Flächen konstanter Krümmung sich befinden, ist selbstverständlich. Diese Fälle ausgenommen, mögen über die Flächen I, II und III noch folgende Bemerkungen aufgeführt sein: Aus jeder Fläche \(S\) lassen sich \(\infty^3\) Flächen \(\varSigma\) ableiten. Die Flächen I sind \textit{Weingarten}sche Flächen; für \(a=0\) enthalten dieselben die Komplementarfläche des Rotationsparaboloids, was den Zusammenhang der Sätze von \textit{Guichard} und andrerseits \textit{Ribaucour} und \textit{Bianchi} ergibt. Jedem Orthogonalsystem auf der Minimalfläche \(S\) entspricht ein konjugiertes System auf der \textit{Weingarten}schen Fläche \(\varSigma\). Wenn die Fläche \(S\) eine Fläche konstanter Krümmung ist, \(K_1 = \frac 1A\), so erhält man für \(\varSigma\) die beiden Linienelemente II und III, wo das letztere Linienelement aus dem ersteren hervorgeht, wenn man \(a=-1\) mit den notwendigen Grenzübergängen einführt. Für \(\varSigma\) ergibt sich \(K= \frac{Aa^2}{G^2}\), resp. \(K= \frac{A}{G^2}\). Setzt man in Element II den Wert \(k=0\) ein, so sind die Flächen \(\varSigma\) auf Rotationsflächen abwickelbar. Unter den Flächen II befinden sich auch die Flächen: \[ y^2 + z^2 - ax^2 - k(y+iz)^2 +aA =0, \] imaginäre Flächen, welche den Kugelkreis berühren. Unter den Flächen III befinden sich Flächen: \[ x^2 + 2z^2 - 2xy - 2ixz - 2iyz -A=0, \] imaginäre Flächen, welche den Kugelkreis oskulieren. Ferner gilt der Satz, daß\ die Asymptotenlinien auf \(S\) und \(\varSigma\) einander entsprechen. Bei der Lösung des ganzen Problems ergibt sich die Zwischenformel \[ \frac{\partial \log \varLambda}{\partial u} = \frac{\partial \log \sqrt G}{\partial u}, \] welche eine interessante geometrische Deutung zuläßt. Das Umkehrproblem fordert erheblich mehr Rechnung als das direkte Problem, trotzdem Verf. natürlich die abgeleiteten Resultate benutzt. Der Gang der Rechnung ist im wesentlichen der, daß\ zwei Funktionen \(\varPhi (u, v)\) und \(W(u, v)\) durch ein System von linearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung so bestimmt werden, daß\ die Normalebenen der Kurven, welche das System \(\varPhi = C\) auf der Fläche \(S\) bestimmt, die Fläche \(\varSigma\) umhüllen. Einfacher gestaltet sich die Untersuchung für die Flächen III, es ergibt sich dabei der Satz: Aus einer Fläche \(S\) mit \(K_1 =\frac 1A\), auf welcher die geodätischen Linien bekannt sind, erhält man durch drei Quadraturen \(\infty^3\) Flächen \(\varSigma\) mit dem Linienelement III. Die inhaltreiche Abhandlung wird jedem Leser eine große Anregung geben.