On the generalization of analytic continuation. (Q5912060)

Eine Function \(F(x)\) der reellen Veränderlichen \(x\) heisst eine Function \((M)\) in einem Intervall \(AB\), wenn sie folgenden Bedingungen genügt: 1. Sie besitzt für jeden Punkt \(a\) des Intervalles Ableitungen jeder Ordnung. 2. Function und Ableitungen lassen sich in der Form darstellen: \[ F^{(h)}(x) = \sum_{n=0}^\infty G_n^{(h)} (x-a,a)\qquad (h = 0,1,2,\dots,\infty), \] wo der Ausdruck \(G_n(\xi,a)\) für jeden Wert \(\xi\) und \(a\) des Intervalles \(AB\) durch die Gleichungen definirt wird: \[ \begin{aligned} G_0(\xi,a) &= g_0(\xi,a) = F(a),\\ G_n(\xi,a) &= g_n(\xi,a) - g_{n-1}(\xi,a)\qquad (n>0),\end{aligned} \] \[ \begin{multlined} g_n(\xi,a) = \sum_{\lambda_1=0}^{n^2} \sum_{\lambda_2=0}^{n^4}\cdots \sum_{\lambda_n=0}^{n^{2n}} \frac1{\lambda_1!\lambda_2!\dots\lambda_n!}\\ \times F^{(\lambda_1 + \lambda_2 +\cdots+ \lambda_n)}(a)\left(\frac{\xi}a\right)^{\lambda_1 + \lambda_2 +\cdots+ \lambda_n}.\end{multlined} \] 3. Alle diese Reihen convergiren, wenn \(h\) und \(a\) feste Werte haben, unbedingt und gleichmässig für jedes innerhalb des Intervalles \(AB\) gelegene Intervall. Es giebt solche Functionen \((M)\); denn nach einem Satze von Mittag-Leffler definirt jede analytische Function \(f(z)\) auf jeder geradlinigen Strecke \(AB\), die keinen singulären Punkt von \(f(z)\) enthält, eine Function \((M)\). Mit den so erhaltenen Functionen sind jedoch die Functionen \((M)\) noch nicht erschöpft, vielmehr existiren, wie Borel an einem Beispiel zeigt, Functionen \((M)\), die in einem Intervall \(AB\) nicht analytisch sind. Trotzdem kann man für die Functionen \((M)\) eine Theorie aufstellen, die der Weierstrass'schen Theorie der Fortsetzung analytischer Functionen entspricht. Wie eine analytische Function ist eine Function \((M)\) vollständig bestimmt durch die Werte, die sie selbst und ihre Ableitungen an einem bestimmten Punkte haben. Ist für einen Punkt \(a\) der Ebene der complexen Veränderlichen \(x\) eine Reihe von Werten \(F(a)\), \(F'(a)\), \(F''(a)\), ... gegeben, so betrachte man die durch ihn gehenden Geraden. Die Reihe jener Werte kann dann auf einzelnen der Geraden Functionen \((M)\) definiren. Auf einer von ihnen nehme man einen Punkt \(b\) an und untersuche, ob zu den Werten \(F(b)\), \(F'(b)\), \(F''(b)\), ... eine Function \((M)\) gehört, die auf einer von \(b\) ausgehenden, von \(ab\) verschiedenen Geraden definirt ist, u. s. w. Auf diese Weise gelangt man dazu, von dem ``Functionselement'' \(F(a)\), \(F'(a)\), \(F''(a)\), ... ausgehend, die betreffende Function \((M)\) in ihrer ganzen Ausdehnung zu definiren. Man erkennt leicht, dass die so erhaltene Theorie die Weierstrass'sche als besonderen Fall enthält; allerdings ist dabei der Begriff der eindeutigen Function mit Vorsicht zu definiren, ein Umstand, auf den Borel schon bei einer anderen Gelegenheit aufmerksam gemacht hat (F. d. M. 26, 430, 1895, JFM 26.0429.03). Den Gedanken einer ``linearen Fortsetzung'' auf Grund der Polynome \(g_n(\xi,a)\), die bereits in einer früheren Abhandlung von Mittag-Leffler aufgetreten waren (F. d. M. 30, 364-366, 1899, JFM 30.0364.05), hat dieser, unabhängig von Borel, in der zweiten Note ausgesprochen, über die S. 404 dieses Bandes berichtet wird (siehe JFM 31.0404.04). Gleichzeitig hat er auf einen Umstand aufmerksam gemacht, der für die Beurteilung des Wertes dieser Verallgemeinerung des Begriffes der Fortsetzung von entscheidender Bedeutung ist, nämlich dass die Polynome \(g_n(\xi,a)\) auf unendlich viele Arten durch andere Polynome ersetzt werden können, die für den Zweck der Fortsetzung zwar dasselbe bieten wie die \(g_n(\xi,a)\), die aber zu ganz anderen Fortsetzungen führen als jene. Mithin ist die lineare Fortsetzung abhängig von der Wahl der Darstellung der Function, und darin liegt ein so wesentlicher Unterschied gegenüber der Fortsetzung einer analytischen Function einer complexen Veränderlichen, dass die lineare Fortsetzung mehr das Interesse einer Curiosität hat, als einen wirklichen Fortschritt der Functionentheorie bedeutet.