On divergent series and functions defined by a Taylor expansion. (Q5912077)

1. Wenn für positive, ganzzahlige Werte von \(n\) \[ \alpha_n = \int_0^1 \varphi(x)x^ndx \] ist, so hat die Function \[ f(z) = \sum_0^\infty \alpha_n z^n = \int_0^1\frac{\varphi(x)}{1-zx}dx \] in der ganzen Ebene keine anderen singulären Punkte als \(z=1\) und \(z=\infty\); \(f(z)\) ist nicht eindeutig, man kann die verschiedenen Zweige von \(f(z)\) finden und das Verhalten von \(f(z)\) in der Umgebung von \(z=1\) bestimmen. 2. Man kann die Untersuchung von \(f(z)\) in der ganzen Ebene vollständig durchführen, wenn \(\alpha_n\) eine analytische, für \(\varrho>\varrho_0\) und \(|\omega|<\omega_0\) holomorphe Function von \(n=\varrho e^{i\omega}\) ist (\(\varrho_0\) und \(\omega_0\) bedeuten zwei positive Constanten), und wenn die Reihe \(\alpha_0+\alpha_1 z+\alpha_2 z^2+\cdots\) denselben Convergenzkreis behält, wenn \(n\) durch \(ne^{i\omega}\) ersetzt wird, während \(|\omega|\) kleiner als \(\omega_0\) bleibt. 3. Folgerungen und Verallgemeinerungen von 1. und 2.