Interpolation. (Q5912079)

Die zu interpolirende Function sei \(y=f(x)\), von ihr seien \(n\) zusammen gehörende Wertpaare \(x_1,y_1\); \(x_2,y_2\); ...; \(x_n,y_n\) gegeben. Man bestimme nach einander eine Function \(f_0\) vom nullten Grade mit den Wertpaaren \(x_0,y_0\), eine Function \(f_1\) vom ersten Grade mit den Wertpaaren \(x_0,y_0\); \(x_1,y_1\), eine Function \(f_2\) vom zweiten Grade mit den Wertpaaren \(x_0,y_0\); \(x_1,y_1\); \(x_2,y_2\); u. s. w., d. h. man setze allgemein \(f_{\nu+1}=f_\nu+(x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_\nu)r_{\nu+1}\) und im besonderen \[ f_0 = r_0,\,f_1 = r_0+(x-x_0)r_1,\,f_2 = r_0+(x-x_0)r_1+(x-x_0)(x- x_1)r_2, \] \[ f_3 = r_0+(x-x_0)r_1+(x-x_0)(x-x_1)r_2 + (x-x_0)(x-x_1)(x- x_2)r_3,\,\dots. \] Zur Bestimmung der Constanten \(r_\nu\) dient der Umstand, dass für \(x=x_0f_0=y_0\), für \(x=x_1f_1=y_1\), für \(x=x_2f_2=y_2\), ... sein muss. Daraus folgt, dass \[ r_\nu = \frac{y_0}{\gamma_0} + \frac{y_1}{\gamma_1} + \frac{y_2}{\gamma_2} +\cdots+ \frac{y_\nu}{\gamma_\nu} \] ist, worin gesetzt ist: \[ \gamma_m = (x_m-x_0) (x_m-x_1)\dots(x_m-x_{m-1}). \] Der Differenzteil \([x_px_qx_s\dots x_t]\), d. h. der Ausdruck \[ \frac{y_p}{\gamma_p} + \frac{y_q}{\gamma_q} + \frac{y_s}{\gamma_s} +\cdots+ \frac{y_t}{\gamma_t} \] ist symmetrisch; er ändert sich nicht, wenn 2 Zeiger \(p\) und \(q\) (d. h. 2 Wertpaare \(x_p,\,y_p\) und \(x_q,\,y_q\)) mit einander vertauscht werden. Setzt man \[ [x_px_{p+1}] = D_{p+1}^p,\,[x_px_{p+1}x_{p+2}] = D_{p+2}^p,\, [x_px_{p+1}x_{p+2}x_{p+3}] = D_{p+3}^p,\text{ u. s. w.}, \] so besteht die Gleichung \[ D_q^p = \frac{D_q^{p+1} - D_{q-1}^p}{x_q - x_p}, \] und die Differenzteile können mittels des Dreiecks \[ \begin{matrix} :\\ y_{-2}\\ y_{-1}&D_{-1}^{-2}\\ y_0&D_0^{-1}&D_0^{-2}\\ y_1&D_1^0&D_1^{-1}&D_1^{-2}\\ y_2&D_2^1&D_2^0&D_2^{-1}&D_2^{-2}\\ y_3&D_3^2&D_3^1&D_3^0&D_3^{-1}&D_3^{-2}\\ y_4&D_4^3&D_4^2&D_4^1&D_4^0&D_4^{-1}&D_4^{-2}\\ :\end{matrix} \] berechnet werden. --- Das Product \(ab\) wird in der Form \(\overset {a}{\underset {b}=}\) geschrieben, darin heisst \(a\) der Multiplicator, \(b\) der Multiplicand; dann wird das Kettenproduct \[ \begin{matrix} \l&\quad\l&\quad\l&\quad&\quad\l&\quad\l&\quad\l\\ \underline{\underline{a}}&\underline{\underline{a_1}}&\underline{\underline {a_2}}&&\underline{\underline{a_{n-2}}}&\underline{\underline{a_{n- 1}}}&\underline{\underline{a_n}}\\ b+&b_1+&b_2+&\cdots+&b_{n-2}+&b_{n-1}+&b_n\end{matrix} \] gebildet, worin die \(a_\nu\) die Multiplicatoren sind, während die \(b_\nu\) als Partialmultiplicanden bezeichnet werden. Man berechnet dies Kettenproduct analog wie einen Kettenbruch, indem man \(b_n\) mit \(a_n\) multiplicirt, dies zu \(b_{n-1}\) addirt, dann mit \(a_{n-1}\) multiplicirt, u. s. w. Löst man die Klammern auf, so erhält man das Kettenproduct in Form der Summe \[ ab + aa_1b_1 + aa_1a-2b_2 + aa_1a_2a_3b_3 +\cdots. \] Darin ist jeder Summand das Product aus einem Partialmultiplicand \(b_\nu\) und den sämtlichen vorhergehenden Multiplicatoren \(a\), \(a_1\), ..., \(a_\nu\); \(aa_1\) heisst das 1te; \(aa_1b_1\) das 2te, \(aa_1a_2b_2\), das 3te Näherungsproduct, u. s. w. Die Function \(y=f_n\) kann als Kettenproduct geschrieben werden: \[ y_0 + \frac{x-x_0}{\overline{[x_0x_1]}}\underset{+}{} \frac{x- x_1}{\overline{[x_0x_1x_2]}}\underset{+}{} \frac{x-x_2}{\overline{[x_0x_1x_2x_3]}}\underset{+}{}\underset\dots{}\underset{+}{}\frac{x-x_{n-2}}{\overline{[x_0x_1x_2\cdots x_{n-1}]}}\underset{+}{} \frac{x-x_{n-1}}{\overline{[x_0x_1x_2\cdots x_n]}}. \] Als Beispiel dient eine Function mit 6 Wertpaaren. Daran schliesst sich die Behandlung von Fällen, in denen die Grössen \(x_\nu\) eine arithmetische Reihe bilden.