Contributions to function theory. (Q5912099)

Das Buch enthält zwei unter einander in Zusammenhang stehende Abhandlungen. Die erste beschäftigt sich mit ``associativen Grössenverbindungen'': associativ nennt Verf. eine Verbindung zweier Grössen, ``wenn in dem Ausdruck, der durch Verbindung des dadurch entstandenen Grössenausdrucks mit einer dritten Grösse nach derselben Regel entsteht, die drei in ihm vorkommenden Grössen beliebig unter einander vertauscht werden können; der associative Charakter eines Grössenausdrucks schliesst demnach die Eigenschaft, commutativ zu sein, in sich ein.'' Die einfachsten hierher gehörenden Grössenverbindungen sind die Summe und das Product, ferner die bei den Additionstheoremen der analytischen Functionen auftretenden zweigliedrigen Ausdrücke, z. B. \(\frac{x+y}{1-xy}\); Verf. führt besondere Zeichen für dieselben ein. In dem ersten Teile werden die Grundeigenschaften der associativen Verbindungen behandelt, wobei Verf. zu einer Verallgemeinerung der algebraischen Grundoperationen einschliesslich des Logarithmirens gelangt, im zweiten Teile Functionalgleichungen in entsprechend verallgemeinerter Form und im dritten Teile Integrationen von Differentialgleichungen mittels Functionalgleichungen, während im vierten Teile die Begriffe des Negativen und Imaginären sowie der Differentiation erweitert werden. Die zweite Arbeit handelt ``über die gegenseitige Abhängigkeit complexer Grössen'': Ausgehend von der Thatsache der Unbestimmtheit des Functionszusammenhanges für complexe Variabeln \(u+vi\) und \(x+yi\), falls derselbe nicht durch die ``Monogeneitätsbedingungen'' \(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}=0\), \(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=0\) eingeschränkt wird, giebt Verf. eine neue geometrische Darstellung der gegenseitigen Abhängigkeit complexer veränderlicher Grössen, indem er zweckgemäss die \(xy\)-Ebene und die \(uv\)-Ebene derart legt, dass beide ihren Nullpunkt gemeinsam haben, die \(u\)-Axe auf der \(x\)-Axe senkrecht steht, dagegen die \(v\)-Axe mit der \(x\)-Axe zusammenfällt, und den vierten Eckpunkt des die beiden Punkte \(u+vi,\,x+yi\) und den Nullpunkt zu seinen drei anderen Ecken besitzenden Parallelogramms construirt; er gelangt dadurch zu einer Deutung und Begründung eben jener Monogeneitätsbedingungen, durch welche er die noch immer ungelöste Aufgabe, die Definition der einzelnen Functionen nach einem alle Fälle umfassenden Princip zu bewirken, ihrer Lösung um einen Schritt näher gebracht zu haben hofft.