On the connexion of algebraic functions with automorphic functions. (Q5912106)

Besteht zwischen zwei complexen Variabeln \(u\) und \(z\) die algebraische Gleichung \(f(u,z)=0\), so lassen sich beide Variabeln durch eindeutige automorphe Functionen einer dritten Variable \(t\) ausdrücken. Ist \(f\) vom Geschlecht 0, so sind die Functionen rational; ist \(f\) vom Geschlecht 1, so sind sie elliptisch; ist das Geschlecht grösser als 1, so ist ein Weg zur Bestimmung der Functionen allgemein noch nicht angegeben. Durch die vorliegende Arbeit soll dies bewirkt werden. Es ergiebt sich nämlich, dass man derartige Functionen aus einer bestimmten Klasse von Gruppen bilden kann. Verf. führt zu diesem Zweck den Begriff der selbstinversen projectiven Transformationen \(\left(t,\frac{at+b}{ct+d}\right)\) ein, nämlich solcher Transformationen, die ausser der Bedingung \(ad-bc=1\) auch die zweite \(a+d=0\) erfüllen. Für die Gruppe dieser Transformationen wird zunächst eine Reihe allgemeiner Sätze abgeleitet. Es wird dann eine bestimmte derartige Gruppe aufgestellt, die den Bereich der Variable in charakteristischer Weise in Einzelbereiche zerlegt, deren jeder einer conformen Abbildung auf ein Blatt der zur Gleichung \(f(u,z)=0\) gehörigen Riemann'schen Fläche fähig wäre. Diese Gruppe hat das Geschlecht 0. Automorphe Functionen dieser Gruppe würden daher auch nur die Lösung des Problems für Gleichungen \(f(u,z)=0\) geben können, deren Geschlecht ebenfalls 0 ist. Es lassen sich aber aus der Gruppe auf einfache Weise Untergruppen von höherem Geschlecht ableiten, und automorphe Functionen solcher Gruppen geben die Lösung auch für höhere Geschlechter von \(f\). Durchgeführt wird die Methode für eine hyperelliptische Form der Gleichung \(f(u,z)=0\) vom Geschlecht \(p\), wobei sich der Fall \(p=1\) als ein Ausnahmefall herausstellt. Die Ausdehnung auf nicht hyperelliptische algebraische Abhängigkeiten von der Form \(f(u,z)=0\) ergiebt sich hieraus. Die übrigen in der Abhandlung noch enthaltenen Einzelresultate können an dieser Stelle nicht berücksichtigt werden.