Sur la nature arithmétique du nombre \(e\). (Q5912108)

Das bekannte Verfahren von Liouville, algebraische Zahlen durch rationale angenähert darzustellen, beruht auf dem einfachen Satze: Ist \(P(x)\) ein irreducibles Polynom vom Grade \(n\), und sind \(p\), \(q\) zwei relative Primzahlen, so wird \(P\left(\frac pq\right)=\frac A{q^n}\), wo \(A\) eine wesentlich von Null verschiedene ganze Zahl ist.'' Der Verf. erweitert zunächst diese Methode, um algebraische Zahlen durch algebraische zu approximiren. Wenn zwei ganzzahlige irreducible Polynome \(P(x)\), \(Q(x)\) vorliegen, so ist der absolute Wert der (ganzzahligen) Resultante \(\ge 1\). Hierauf stützt sich die Lösung der Aufgabe: Wenn \(\alpha\) eine Wurzel von \(P(x)=0\) ist, eine Wurzel \(\beta\) von \(Q(x)=0\) so zu bestimmen, dass der absolute Unterschied von \(\beta\) und \(\alpha\) unter eine vorgegebene positive, beliebig kleine Zahl \(\varepsilon\) sinkt. Es ergiebt sich, dass die Summe der absoluten Werte der Coefficienten von \(Q(x)>M\varepsilon^{- \mu}\) sein muss, wo \(M\), \(\mu\) Constanten sind. Eine gewisse Analogie zeigt sich bei der Approximation der Zahl \(e\) durch algebraische Zahlen. Mit Hülfe von Formeln, die von A. Hurwitz angegeben sind, gelangt Verf. zu dem bemerkenswerten Resultat: Soll \(Q(x)\), von vorgegebenem Grade \(n\), so bestimmt werden, dass \(Q(e)<\varepsilon\), so muss die Summe der absoluten Werte der Coefficienten von \(Q(x)>M\varepsilon^{-\mu}\) sein, wo \(M\) eine Constante ist, und \(\frac k{\mu}=\log\log \frac1{\varepsilon}\) (\(k\) eine andere Constante). Im Gegensatze zu dem früheren Resultat ist hier \(\mu\) nicht constant, sondern convergirt mit \(\varepsilon\) gegen Null; indessen ist die Abnahme von \(\mu\) eine unendlich langsamere als die von \(\varepsilon\).