Die Formen der Vielflache. (Q5912119)

Schon früher hatte der Verf. in Programm-Arbeiten (Progr. des Kölln. Gymn. in Berlin, 1894 und 1896) Untersuchungen über die Anzahl und Form von Vielflachen angestellt und bis zur Flächen-Anzahl 10 eine Liste aller Polyeder hinzugefügt, deren sämtliche Ecken nur drei Kanten aussenden. Die Frage nach allen möglichen Polyedern von vorgeschriebener Flächenzahl rührt schon von Jakob Steiner her (Gergonne's Ann. 19; Ges. Werke I, 227; System. Entwick., Ges. Werke I, 454.) Dann ist diese Frage wiederholt in Angriff genommen. (Brückner's ``Geschichtliche Bemerkungen zur Aufzählung der Vielflache'' im Progr. des Realgymn. zu Zwickau, 1897). Die vorliegende Untersuchung von Hermes ist eine Ausdehnung der früheren Untersuchungen von 1894 und 1896 auf den Fall, dass auch Ecken vorhanden sind, die mehr als drei Kanten aussenden. Der Verf. betrachtet eine beliebige Fläche des Polyeders als Grundfläche und die mit dieser Grundfläche nur in einer Kante zusammenstossenden Flächen als Seitenflächen, endlich die von der Grundfläche ganz getrennt liegenden Flächen als Deckflächen. Hiernach gehören zu einer Grundfläche mit \(f-i\) Kanten \(i-1\) Deckflächen, wenn \(f\) die Gesamtzahl aller Flächen ist. Die Deckflächen bilden der Reihe nach Zonen. Mit Hülfe dieser Anschauungsweise kann man nun bezüglich jeder Fläche als Grundfläche eine Flächenformel definiren, wie aus folgenden Beispielen erkennbar sein wird: \[ \begin{aligned} &\text{Pentagon-Dodekaeder }= (5; 5, 5, 5, 5, 5; 5, 5, 5, 5, 5; 5);\\ &\text{Dreiseitiger Pyramidenstumpf }= (4; 3, 4, 3, 4).\end{aligned} \] Wenn man nun in demselben Polyeder die Fläche, die man bei der Flächenformel als Grundfläche nimmt, variirt, so zeigen sich die Flächenformeln als wesentlich verschieden. Doch zeigt sich bei den Flächenformeln für Polyeder mit nur dreikantigen Ecken und für Polyeder mit Ecken, die beliebig viele Kanten aussenden, ein naher Zusammenhang, den der Verf. feststellt. Um aus einem Polyeder der letzteren Art eins von der ersteren abzuleiten, braucht man nur jede mehrkantige Ecke durch einen ebenen Schnitt abzustumpfen, welches Verfahren der Verf. auch umkehrt. Bei dem Umfange, der einem Referate zukommt, ist es unmöglich, auf die hübschen Resultate des Verfs. und deren mühsame Ableitung näher einzugehen. Es muss genügen, wenn wir hervorheben, dass der Verf. findet: 1. mit nur dreikantigen Ecken: 1 Tetraeder, 1 Pentaeder, 2 Hexaeder, 5 Heptaeder, 14 Oktaeder; 2. mit einer Ecke, die mehr als drei Kanten aussendet: 1 Pentaeder, 3 Hexaeder, 11 Heptaeder, 54 Oktaeder; 3. mit zwei Ecken, deren jede mehr als drei Kanten aussendet: 1 Hexaeder, 11 Heptaeder, 93 Oktaeder; 4. mit drei solchen Ecken: 1 Hexaeder, 6 Heptaeder, 70 Oktaeder; 5. mit vier solchen Ecken: 1 Heptaeder, 23 Oktaeder; 6. mit fünf solchen Ecken: 2 Oktaeder; 7. mit sechs solchen Ecken: 1 Oktaeder, nämlich das mit sechs Ecken, deren jede vier Kanten aussendet, von dem das reguläre Oktaeder ein Specialfall ist.