Sulle condizioni iniziali che determinano gli integrali delle equazioni differenziali ordinarie. (Q5912348)

Zunächst wird gezeigt, dass der Differentialgleichung \[ y^{(n)}=\varphi(x)\tag{1} \] durch das Integral \[ y = \frac1{(n-1)!}f(x)\sum_a\frac{\partial^{a-1}}{\partial a^{a- 1}}\left\{\frac{\alpha}{f^{(a)}(a)(x-a)}\cdot\int_a^x(a-z)^{n- 1}\varphi(z)dz\right\}\tag{2} \] genügt wird, wo \[ f(x) = (x-a)^\alpha(x-b)^\beta\dots(x- l)^\lambda\qquad(\alpha+\beta+\cdots+\lambda=n) \] und die Summe sich auf alle Punkte \(a\), \(b\), ..., \(l\) bezieht. Dies Integral hat weiter die Eigenschaft, dass es in den Punkten \(a\), \(b\), ..., \(l\) zugleich mit seinen resp. \(\alpha-1\), \(\beta-1\), ..., \(\lambda-1\) ersten Derivirten verschwindet. Fügt man zu der rechten Seite von (2) noch die in bekannter Weise zu bestimmende ganze Function \(F(x)\) vom \((n- 1)^{\text{ten}}\) Grade hinzu, die zugleich mit ihren \(\alpha-1\) (resp. \(\beta-1\), ..., \(\lambda-1\)) ersten Derivirten in \(x=a\) (resp. \(x=b,\,c,\,\dots,\,l\)) vorgeschriebene Werte annimmt, so erhält man ein Integral von (1), das dieselben Bedingungen erfüllt, die im folgenden kurz mit (\(A\)) bezeichnet werden. Ist nun eine Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung \[ y^{(n)} = \varphi(x,y,y',\dots,y^{(n-1)})\tag{3} \] gegeben, wo \(\varphi\) eine endliche und stetige Function ihrer Argumente bedeutet, die den Lipschitz'schen Bedingungen \[ |\varphi(x,y,y',\dots,y^{(n-1)}) - \varphi(x,y_1,y_1',\dots,y_1^{(n- 1)})|<M\sum_0^{n-1}{}_k|y^{(k)}-y_1^{(k)}| \] genügt (\(M\) eine positive und endliche Constante), so kann man für den Fall, dass die Punkte \(a\), \(b\), ..., \(l\) und die Variable \(x\) in einem hinreichend kleinen Intervalle liegen, auf folgendem Wege zu einem Integral von (3) gelangen, das den Anfangsbedingungen (\(A\)) genügt. Man integrire die Gleichung \(y_1^{(n)}=\varphi_0(x)\), wo \(\varphi_0(x)\) aus \(\varphi\) hervorgeht, indem man \(y,y',\dots,y^{(n-1)}\) durch willkürliche Constanten ersetzt, nach dem Vorhergehenden unter den Anfangsbedingungen (\(A\)). Darauf integrire man die Gleichung \[ y_2^{(n)} = \varphi(x,y_1,y_2',\dots,y_1^{(n-1)}) \] gleichfalls unter den Anfangsbedingungen (\(A\)), u. s. f., so dass \(y_{k+1}\) das Integral der Gleichung \[ y_{k+1}^{(n)} = \varphi(x,y_k,y_k',\dots,y_k^{(n-1)}) \] mit den Anfangsbedingungen (\(A\)) ist. Dann strebt, wie bewiesen wird, \(y_{k+1}\) gleichmässig einer Grenze zu, die das verlangte Integral ist. Das hier bewiesene Existenztheorem, welches das Cauchy'sche als speciellen Fall enthält, wird einerseits auf Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen, andererseits auf eine Klasse partieller Differentialgleichungen ausgedehnt. Zum Schluss wird für das Integral einer linearen completten Differentialgleichung mit constanten Coefficienten unter den Anfangsbedingungen (\(A\)) die Endformel explicite gegeben.