Sugli spazi a tre dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti. (Q5912399)

Ein \(n\)-dimensionaler Raum \(R_n\) ist durch den Ausdruck des Quadrats seines Linearelementes vollkommen bestimmt: \(ds^2=\sum a_{ik}dx_idx_k\). Durch Anwendung desselben kann man insbesondere alle Applicabilitätsprobleme von \(R_n\) auf sich selbst auflösen, d. h. die Aufgaben über die Bewegungen in \(R_n\). Der Verf. beschränkt sich auf die Betrachtung der Räume, welche continuirliche Bewegungen annehmen; diese bilden eine Gruppe, welche von einer endlichen Zahl \((r)\) von Parametern abhängt, in welcher (um Lie's Benennungen zu gebrauchen) eine continuirliche Gruppe \(G_r\) enthalten ist, die durch \(r\) infinitesimale Transformationen \(X_1f,\dots,X_rf\) erzeugt wird. Die Aufgabe, die Räume zu bestimmen, welche eine continuirliche Bewegungsgruppe besitzen, ist mit derjenigen identisch, die möglichen \(ds^2\) zu finden, welche eine Gruppe \(G_r\equiv[X_1f,\dots,X_rf]\) von Transformationen in sich zulassen. Obgleich die Formeln, welche dieses Problem auflösen, im Grunde schon von Killing (J. für Math. 109; F. d. M. 24, 496, 1896, JFM 24.0496.02) und Lie gegeben sind, wurde dasselbe doch noch nicht vollkommen gelöst. Als Vorbereitung zur allgemeinen Auflösung wendet der Verf. die Methoden von Killing-Lie auf die Bestimmung aller dreidimensionalen Räume an, in welchen die Bewegung der Figuren von einem gegebenen Freiheitsgrade möglich ist. --- Das genügt, um den Zweck und den allgemeinen Gedankengang der Bianchi'schen Arbeit anzudeuten. Die Wichtigkeit der Resultate ist jedem Leser bekannt, der die Preisaufgabe der Fürstlich Jablonowski'schen Gesellschaft für das Jahr 1901 kennt; die Strenge der Methoden und die Eleganz der Rechnungen braucht nicht hervorgehoben zu werden, wenn es sich um eine Abhandlung handelt, welche Bianchi zum Verf. hat.