Sur les intégrales quadratiques des équations de la dynamique. (Q5912412)

Die \(q\) ganzen Zahlen, \(i,j,\dots,l,m\), mögen die Summe \(n\) geben; es seien ferner: \[ \tau_1(x_1',\dots,x_i';x_1,\dots,x_i),\,\tau_2(x_{i+1}',\dots,x_{i+j}';x_ {i+1},\dots,x_j),\dots, \] \[ \tau_q(x_{i+j+\cdots+l+1}',\dots,x_q';x_{i+j+\cdots+l+1},\dots,x_n) \] \(q\) lebendige Kräfte, deren erste die Variabeln \(x_1,\dots,x_i\); die zweite \(x_{i+1},\dots,x_{i+j}\) u. s. w. enthält. Endlich sei \(\Delta\) die Derminante: \[ \begin{vmatrix} \varphi_1^1(x_1,\dots,x_i)& \varphi_2^1(x_{i+1},\dots,x_{i+j})& \hdots&\varphi_q^1(x_{i+j+\cdots+l+1},\dots,x_n)\\ \varphi_1^2(x_1,\dots,x_i)& \varphi_2^2(x_{i+1},\dots,x_{i+j})& \hdots&\varphi_q^2(x_{i+j+\cdots+l+1},\dots,x_n)\\ \hdotsfor4\\ \varphi_1^q(x_1,\dots,x_i)& \varphi_2^q(x_{i+1},\dots,x_{i+j})& \hdots&\varphi_q^q(x_{i+j+\cdots+l+1},\dots,x_n)\end{vmatrix}, \] wo die \(\varphi_r^s\) willkürlich gewählte Functionen der angegebenen Variabeln sind. Bezeichnet man mit \(\Delta_r^s\) den Coefficienten von \(\varphi_r^s\) in \(\Delta\), so setze man nun: \[ T_1=\Delta\left(\frac{\tau_1}{\Delta_1^1} + \frac{\tau_2}{\Delta_2^1} + \cdots + \frac{\tau_q}{\Delta_q^1}\right), \] \[ \Delta U_1 = f_1(x_1,\dots,x_i)\Delta_1^1 + f_2(x_{i+1},\dots,x_{i+j})\Delta_2^1 + \cdots + f_q(x_{i+j+\cdots+l+1},\dots,x_n)\Delta_q^1, \] wo die \(f_r\) wiederum willkürliche Functionen der angegebenen Variabeln sind. Dann lässt das Lagrange'sche System \((T_1,U_1)\) \(q\) verschiedene quadratische Integrale zu (wenn man das der lebendigen Kraft mitzählt), nämlich \(T_\mu-U_\mu=h_\mu\), wo gesetzt ist: \[ T_\mu = \Delta\left[\tau_1\frac{\Delta_1^\mu}{(\Delta_1^1)^2} + \tau_2\frac{\Delta_2^\mu}{(\Delta_2^1)^2} + \cdots + \tau_q\frac{\Delta_q^\mu}{(\Delta_q^1)^2}\right], \] \[ U_\mu = \frac1{\Delta}[f_1\Delta_1^\mu + f_2\Delta_2^\mu + \cdots + f_q\Delta_q^\mu]. \] Dieses System umfasst alle bisher ermittelten Fälle von Stäckel, Levi Civita, di Pirro und dürfte nach des Verfassers Ansicht vielleicht den Gegenstand abschliessend erschöpfen. In der zweiten Note erkennt der Verfasser nach einem Briefwechsel mit Stäckel an, dass dieser bereits 1895 (C. R. 121, 489-492; F. d. M. 26, 822, JFM 26.0822.01) dasselbe Resultat veröffentlicht habe.