On the zeros of entire functions. (Q5912482)

Sind \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), ... die nach der Grösse geordneten Moduln der Nullstellen einer ganzen transcendenten Function von endlichem Geschlecht, so giebt es, wie man leicht erkennt, eine positive Grösse \(\varrho\) von der Eigenschaft, dass \(\sum\frac1{a_n^{\varrho+\varepsilon}}\) convergirt und \(\sum\frac1{a_n^{\varrho-\varepsilon}}\) divergirt, wie klein auch die positive Grösse \(\varepsilon\) angenommen werde. Die Grösse \(\varrho\) nennt der Verf. die ,,Ordnung'' der ganzen Function. Sie steht in einer einfachen Beziehung zu der Art des Anwachsens der ganzen Function. Man bezeichne nämlich mit \(M(r)\) das Maximum, mit \(N(r)\) das Minimum der absolut genommenen Functionswerte, die den Argumenten vom absoluten Betrage \(r\) entsprechen. Die Function \(M(r)\) wächst dann mit wachsendem \(r\) wie \(e^{r^\varrho}\), und andererseits kann man eine Reihe von wachsenden Werten \(r\) finden, für welche \(N(r)> e^{-r^\varrho}\) ist. Die Thatsache, dass die Grenze für \(N(r)\) der reciproke Wert der Function \(e^{r^\varrho}\) ist, welche das Anwachsen von \(M(r)\) angiebt, lässt sich auf Functionen von unendlichem Geschlecht ausdehnen. In Bezug auf die letzteren ist die folgende Bemerkung wesentlich. Man pflegt die Weierstrass'schen Convergenzfactoren im Falle eines unendlichen Geschlechtes immer so zu wählen, dass der Exponent des \(n^{\text{ten}}\) Factors vom Grade \(n\) ist, was jedenfalls angeht, weil die Summe \(\sum\frac1{a_n^n}\) unter allen Umständen convergirt. Borel bemerkt nun, dass stets schon \(\sum\frac1{a_n^{\lg n}}\) convergent ist, so dass der Grad \(n\) durch einen wesentlich kleineren ersetzt werden kann. Mit Hülfe der allgemeinen Sätze, die der Verf. im ersten Teil der Arbeit abgeleitet hat, giebt er dann im zweiten Teile den Beweis für die Verallgemeinerungen eines Picard'schen Satzes, über welche wir im letzten Bande dieses Jahrbuches (S. 321, JFM 27.0321.02) berichtet haben. Insbesondere wird der Beweis des Satzes, nach welchem die Gleichung \(e^{G_1(z)}+e^{G_2(z)}=1\) durch ganze transcendente Functionen \(G_1(z)\), \(G_2(z)\) nicht erfüllbar ist, ausser wenn \(G_1(z)\) und \(G_2(z)\) sich auf Constanten reduciren, ausführlich dargestellt.