Theorems on the attraction of ellipsoids for certain laws of force other than the inverse square. (Q5912595)

In den ersten Paragraphen dieser umfangreichen und interessanten Arbeit kommt der Verf. unter den allgemeinen Bemerkungen (in \S 5) auf das merkwürdige Jellett'sche Theorem zu sprechen, nach welchem, wenn \(V_k\) das Potential für das Kraftgesetz der umgekehrten \(k\)ten Potenz der Entfernung ist, man \[ V_{k+2} = \frac {1}{(k + 1)(k - 2)} \left( \frac {d^2}{dx^2} + \frac {d^2}{dy^2} + \frac {d^2}{dz^2}\right) V_k \] hat. Hiernach kann man eine grosse Anzahl von Potentialen ohne Integralzeichen darstellen. In den \S\S\ 8-11 bestimmt der Verf. das Potential eines dünnen homogenen ``Homoioids'' in einem inneren und äusseren Punkte, wenn die Kraft der \(k\)ten Potenz der Entfernung umgekehrt proportional ist, wobei \(k\) eine gerade Zahl bedeutet. Die Untersuchung spaltet sich in zwei Fälle, je nachdem \(k > 3\) oder \( < 3\) ist. Das Potential wird in dem einen Falle vollständig durch Integration ermittelt, in dem anderen dagegen auf eine einzige Quadratur gebracht. Die \S\S\ 12-26 beschäftigen sich mit dem Potential eines dünnen heterogenen Homoioids, dessen Dichtigkeit \(x^fy^gz^k\) ist, für dasselbe Kraftgesetz. Auch hier zerfällt die Untersuchung in einen integrabeln Fall und einen, der ein Integral enthält. Das Potential wird in beiden Fällen als eine Reihe mit einer endlichen Gliederanzahl ausgedrückt. Darauf behandeln die \S\S\ 27-30 das Potential eines homogenen und eines heterogenen Ellipsoids in einem inneren Punkte für dasselbe Kraftgesetz. Das Potential eines Ellipsoids in einem äusseren Punkte, wenn es in ähnlichen Ellipsoidschalen geschichtet ist, bilden den Gegenstand der \S\S\ 31-39. Als besondere Fälle werden diejenigen erledigt, bei denen das Kraftgesetz das der umgekehrten vierten, sechsten, achten und zehnten Potenz der Entfernung ist. Hieran schliesst sich in \S 40 das Potential des heterogenen Ellipsoids für das Newton'sche Kraftgesetz. In den \S\S\ 41-48 geht der Verf. auf die Potentiale eines Homoioids und eines Ellipsoids ein bei homogener oder heterogener Struktur, wenn der Index \(k\) des Kraftgesetzes eine negative ungerade Zahl ist. Den Potentialen eines dünnen homogenen Homoioids für den Fall eines Kraftgesetzes 1) des umgekehrten Kubus, 2) der umgekehrten \(k\)ten Potenz der Entfernung bei ungeradem \(k > 3\) sind die \S\S\ 49-54 gewidmet. Den Schluss in \S\S\ 55-57 bildet die Erörterung eines Falles, in welchem die Niveauflächen einer Scheibe confocale Flächen sind. Die früheren Untersuchungen hierher gehöriger Probleme werden vom Verf. gewissenhaft citirt, und ihre Ergebnisse mit den seinigen verglichen. Als eine Arbeit, die einen grossen Reichtum fertiger Resultate für besondere Probleme enthält, ist die Schrift allen denen zu empfehlen, welche sich dafür interessiren, die allgemeinen Lehren der Potentialtheorie an besonderen Fällen bestätigt zu sehen.