On the most general solution of given degree of Laplace's equation. (Q5912775)

Die allgemeinste Function \(n^{\text{ten}}\) Grades (\(n\) eine beliebige reelle oder complexe Zahl) von \(x\), \(y\), \(z\) und \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\), welche der Laplace'schen Gleichung \[ \frac{\partial^2f_n}{\partial x^2} + \frac{\partial^2f_n}{\partial y^2} + \frac{\partial^2f_n}{\partial z^2} = 0\tag{1} \] genügt, ist: \[ \begin{split} f_n(x,y,z) &= \left[1 - \frac{r^2\nabla^2}{2.(2n-1)} + \frac{r^4\nabla^4}{2.4.(2n-1)(2n-3)} -\cdots\right] \Phi_n(x,y,z)\\ &+ r^{2n+1} \left[1 + \frac{r^2\nabla^2}{2.(2n+3)} + \frac{r^4\nabla^4}{2.4.(2n+3)(2n+5)} +\cdots\right] \frac{\Psi_n(x,y,z)}{r^{2n+1}}.\end{split}\tag{2} \] Darin bedeutet \(\nabla^2\) das Operationssymbol \(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\), und zwar ist dasselbe sowohl auf die explicit vorkommenden \(x\), \(y\), \(z\) anzuwenden, als auch sofern diese Variabeln in \(r\) enthalten sind. \(\Phi_n\) und \(\Psi_n\) sind willkürliche Functionen vom Grade \(n\), die nur der Beschränkung unterworfen sind, dass die obige Reihe convergirt. Das vorstehende Resultat wird folgendermassen abgeleitet. Als Function von \(r\) betrachtet, genügt \(f_n\) der Gleichung \[ \frac{\partial^2f_n}{\partial r^2} - \frac{2n}r\frac{\partial f_n}{\partial r} - \nabla^2f_n = 0,\tag{3} \] wo sich jetzt das Operationssymbol \(\nabla^2\) nur auf die explicit vorkommenden \(x\), \(y\), \(z\) bezieht. Betrachtet man \(\nabla^2\) als constant, so ist das allgemeine Integral von (3): \[ f_n = (ir\nabla)^{n+\frac12}\{J_{-(n+\frac12)}.A + J_{n+\frac12}.B\};\tag{4} \] und zwar sind die \(J\) Bessel'sche Functionen mit dem Argumente \(ir\nabla\) und dem Index \(n+\frac12\), resp. \(-(n+\frac12)\), \(A\) und \(B\) sind Constanten in Bezug auf \(r\). Damit \(f_n\) vom Grade \(n\) wird, muss \(A\) eine Function \(n^{\text{ten}}\) Grades von \(x\), \(y\), \(z\) sein, \(B\) eine solche vom Grade \(-(n+1)\). Gleichung (2) ist nur eine andere Form von (4). Für \(\Phi_n=z^{n-m}(x\pm iy)^m\), \(\Psi_n=0\) folgt aus (2), falls man \[ z = r\mu,\quad x + iy = r\sqrt{1-\mu^2} e^{i\varphi} \] setzt, \[ f_n = r^n {\cos\atop\sin}(m\varphi) P_m^n(\mu), \] und für \[ \Phi_n = 0,\qquad \frac{\Psi(x,y,z)}{r^{2n+2}} = \frac{(x+iy)^m}{z^{n+m+1}} \] wird \[ f_n = r^n {\cos\atop\sin}(m\varphi) Q_m^n(\mu), \] wobei aber \(|\mu|>1\) zu nehmen ist.