Sur les surfaces à génératrices rationnelles. (Q5912818)

Der Verfasser setzt den Gedankengang seiner umfangreichen Arbeit in der Einleitung etwa folgendermassen auseinander. Sind die Coordinaten eines Punktes Functionen zweier Parameter \(u\) und \(t\), und zwar in Bezug auf \(t\) rational und so bestimmt, dass einem Punkte der Linie \(G\) oder \(u=\) const. im allgemeinen ein und nur ein Wert des Parameters \(t\) entspricht, so hat man die Parameterdarstellung einer Fläche \(S\), und es soll gesagt werden, dass die rationalen Parameterlinien \(G\) (\(u=\) const.) homographisch geteilt sind durch die Parameterlinien \(t=\) const. Es sollen nun solche Curven der Fläche betrachtet werden, die definirt sind durch eine Differentialgleichung erster Ordnung und \(m^{\text{ten}}\) Grades von der Form \[ A_0t'^m + A_1t'^{m-1} +\cdots+ A_m = 0,\tag{I} \] wo \(t'=\frac{dt}{du}\) ist, während \(A_0\), \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), ... ganze rationale Functionen von \(t\) bedeuten, deren Coefficienten Functionen von \(u\) sind. Durch eine rationale Substitution erster Ordnung \[ t = \frac{\alpha t_1 + \beta}{\alpha_1t_1 + \beta_1} \] ändert sich der Grad der Functionen. \(A\) in der Art, dass, wenn der Index um eine Einheit wächst, der Grad um zwei Einheiten zunimmt. Nach der Reihe werden folgende Linien der Fläche \(S\) betrachtet: Die Conjugirten von \((G)\), ihre rechtwinkligen Trajectorien, die Minimallinien, die asymptotischen und die Krümmungslinien. In allen diesen Fällen ist die Gleichung (I) in Bezug auf \(t'\) vom ersten oder zweiten Grade, also \(m=1\) oder gleich 2. Es handelt sich nun um die Integration der Gleichung (I). Dieselbe wird erleichtert: 1) durch die Existenz gemeinsamer Factoren der \(A\), 2) durch die Existenz vielfacher Wurzeln in \(t\) der Discriminante von (I), als Gleichung für \(t'\) betrachtet, 3) durch die Existenz singulärer Lösungen dieser Gleichung. Soll das allgemeine Integral von (I) nur feste kritische Punkte haben, so müssen alle \(A\) durch \(A_0\) teilbar sein; also nach Division durch einen gemeinsamen Factor erhält (I) eine Form, bei der \(A_0\) unabhängig von \(t\), \(A_1\) höchstens vom zweiten, \(A_2\) höchstens vom vierten Grade in Bezug auf \(t\) ist. Diese Form wird die ``Normalform'' genannt. Man sucht nun, unter welchen Bedingungen dieser Fall eintritt. Ist dann (I) vom ersten Grade in \(t'\), so ist (I) eine Riccati'sche Gleichung, die sich leicht integriren lässt, wenn man eine particuläre Lösung kennt. Ist aber (I) vom zweiten Grade, so ergiebt sich die Normalform in den drei oben angeführten Fällen. Im ersten Falle zerfällt die Gleichung in zwei Riccati'sche, in den beiden anderen Fällen lässt sich durch eine algebraische Substitution erster Ordnung bewirken, dass drei von einander verschiedene Wurzeln der Discriminante sich auf 0, 1 und \(\infty\) reduciren, und die Gleichung nach Einführung einer neuen Variable die Form annimmt: \[ T' = \alpha T^2 + \beta T + \gamma\pm\delta \sqrt{T(T-1)(T-a)} \] \[ (a\text{ Function von }u). \] Wenn die vier Wurzeln der Discriminante verschiedene singuläre Lösungen ergeben, ist \(\alpha T^2+\beta T+\gamma\) identisch Null, also \(T=a\) ist constant, und die Variabeln sind getrennt. Im anderen Falle kann man \(a\) einer der drei anderen Wurzeln gleich annehmen, z. B. \(a=1\), und durch die Substitution \(T=\vartheta^2\) kommt man auf zwei Riccati'sche Gleichungen. Es sind schon längst Fälle bekannt, bei denen gewisse Curven auf Flächen durch die Integration einer Riccati'schen Gleichung bestimmt werden, z. B. die asymptotischen Linien einer Regelfläche, die orthogonalen Trajectorien eines Systems von Kreisen, die Conjugirten einer Schar von Kegelschnitten mit zwei Enveloppen, u. a. m. Im ersten Teile der Arbeit wird gezeigt, wie sich alle diese Fälle fast ohne Rechnung aus den Betrachtungen des Verfassers ergeben, und es werden specieller die Krümmungslinien der Regelflächen und der cyklischen Flächen untersucht. Im zweiten Teile wird die Bedingung der Existenz eines gemeinsamen Factors der \(A\) gesucht. Die Methode wird zunächst an dem Beispiele der rechtwinkligen Trajectorien eines Systems ebener Curven erläutert, dann angewandt auf die Bestimmung der Conjugirten von \(G\), der asymptotischen Linien von \(S\). Der dritte Teil ist der Anwendung der Resultate auf die Untersuchung von Scharen einläufiger ebener Linien und kubischer Raumcurven gewidmet, die homographisch durch ihre Conjugirten geteilt werden. Im ersteren Falle führt die Laplace'sche Transformation ohne weiteres zur Lösung, im zweiten Falle ist eine wiederholte Anwendung dieser Transformation erforderlich. Auf die näheren Ausführungen kann in diesem Referate nicht eingegangen werden.