On the Bernoulli numbers. (Q5912914)

In dieser kurzen Notiz beweist der Verf. auf einfache Weise durch die Verwendung gewisser symbolischer Bezeichnungen verschiedene Beziehungen zwischen den Bernoulli'schen Zahlen und besonders zwei von Malmstén ehedem mit Hülfe der Integralrechnung gewonnene Formeln. Folgendes ist ein Abriss der von Hrn. Hermite benutzten Methode. Man kann schreiben: \[ \frac1{e^x-1} = \frac1x - \frac12S, \] \[ S = \lambda_0 + \frac{\lambda_1x}1 + \frac{\lambda_2x^2}{1.2} +\cdots, \] wo \(\lambda_0=1\), \(\lambda_1=-B_1\), ..., \(\lambda_{2i}=0\), \(i\lambda_{2i-1}=(-1)^{i-1}B_i\) gesetzt ist, und \(B_1\), \(B_2\), ... die Bernoulli'schen Zahlen bedeuten. Daraus folgert man: \[ 1 = \frac{e^x-1}x - \frac12(e^x-1)S. \] Drückt man nun aus, dass der Coefficient von \(x^n\) auf der rechten Seite der Gleichung Null ist, so findet man die symbolische Relation \[ (\lambda+1)^n - \lambda^n = \frac2{n+1}, \] die bei ungeradem \(n\) einer der Malmstén'schen Formeln gleichwertig ist. Die andere Formel des schwedischen Geometers fliesst aus der leicht aufzustellenden Beziehung: \[ e^{(2\lambda+1)x} - e^{\lambda x} + e^{2\lambda x} = \frac{e^x-1}{e^x}, \] aus der man folgert: \[ (2\lambda+1)^n + (2^n-1)\lambda^n = \frac1{n+1}. \] Hierauf macht Hr. Hermite allgemeinere Beziehungen bekannt, welche von der \(m^{\text{ten}}\) Bernoulli'schen Zahl an \(m-1\) oder \(m\) derselben enthalten.