On arithmetic properties of analytic functions. (Q5912939)

Wenn in der complexen Zahlenebene zwei Punktmengen \(P\) und \(Q\) gegeben sind, von denen die erste abzählbar, die zweite überalldicht ist, so kann man in mannigfaltiger Weise eine transcendente ganze Function herstellen, bei welcher jedem Argumente, das der Menge \(P\) angehört, ein Functionswert entspricht, der der Menge \(Q\) angehört. Durch specielle Annahmen der Mengen \(P\) und \(Q\) ergiebt sich hieraus eine Reihe von Sätzen von principiellem Interesse. Wir heben unter ihnen als Beispiele die folgenden hervor. Es giebt transcendente ganze Functionen (mit rationalen Coefficienten), bei denen jedem rationalen Argument ein rationaler Functionswert, und ferner solche, bei denen jedem algebraischen Argumente ein algebraischer Functionswert entspricht. (Diese beiden Sätze rühren von Weierstrass her.) Während bei der Function \(e^x\) jedem von Null verschiedenen algebraischen Argumente ein transcendenter Functionswert entspricht, giebt es auch solche transcendente ganze Functionen, bei denen jedem algebraischen Argumente ein transcendenter Functionswert zukommt.